Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4606. feladat (2014. február)

B. 4606. Oldjuk meg a pozitív számok körében az


\frac{x\cdot 2014^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x}\cdot 2014^x}2 =2014

egyenletet.

(Matlap, Kolozsvár)

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Behelyettesítéssel meggyőződhetünk arról, hogy az \(\displaystyle x=1\) megoldása az egyenletnek. A továbbiakban azt fogjuk belátni, hogy az összes többi pozitív valós számra

\(\displaystyle \frac{x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}+\cfrac{1}{x}\cdot 2014^x}{2}>2014. \)

Írjuk fel a pozitív \(\displaystyle a=x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\), \(\displaystyle b=\frac{1}{x}\cdot 2014^x\) számokra a számtani és a mértani közép közti egyenlőtlenséget:

\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\,. \)

A bal oldal éppen az eredeti egyenlet bal oldala. A jobb oldal pedig a következőképpen alakítható:

\(\displaystyle \sqrt{ab} =\sqrt{x\cdot 2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\cdot \frac{1}{x}\cdot 2014^x} =\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{1}{x}}}\cdot 2014^x}=\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{1}{x}+x}}} =\sqrt{2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{x}}}}= \)

\(\displaystyle = 2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{2x}}}.\)

A továbbiakban belátjuk, hogy minden \(\displaystyle x\ne 1\) pozitív számra

\(\displaystyle 2014^{{}^{\tfrac{x^2+1}{2x}}}>2014. \)

Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt ez éppen

\(\displaystyle \frac{x^2+1}{2x} >1, \)

\(\displaystyle \frac{x^2+1}{2x}-1 >0, \)

\(\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{2x} >0, \)

\(\displaystyle \frac{{(x-1)}^2}{2x} >0,\)

ami nyilván igaz.

Tehát az egyenletnek egyetlen pozitív megoldása van, az 1.

Németh Balázs (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., 8. évf.)


Statisztika:

160 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:77 versenyző.
2 pontot kapott:41 versenyző.
1 pontot kapott:37 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai