KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4607. (February 2014)

B. 4607. The sides of a triangle are a, b, c. A line passes through the centre of the inscribed circle, and intersects side c at P, and side b at Q. Let AP=p and AQ=q. Prove that \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{a+b+c}{bc}.

F. Kacsó, (Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

Deadline expired on 10 March 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a háromszög csúcsait a szokásos módon \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), a beírt kör középpontját \(\displaystyle O\), sugarát \(\displaystyle r\), az \(\displaystyle A\)-nál lévő szög pedig legyen \(\displaystyle \alpha\).

Írjuk fel az \(\displaystyle APQ\) háromszög területét kétféleképpen:

\(\displaystyle T_{APQ}=\frac{pq\sin \alpha}{2} \quad \text{és} \quad T_{APQ}=T_{APO}+T_{AOQ}=\frac{pr}{2}+\frac{qr}{2}=\frac{(p+q)r}{2}. \)

Ebből kapjuk, hogy

\(\displaystyle \tag{1} pq\sin \alpha =(p+q)r.\)

Az \(\displaystyle ABC\) háromszög területét kétféleképpen felírva pedig:

\(\displaystyle T_{ABC}=\frac{(a+b+c)r}{2}=\frac{bc\sin \alpha}{2}, \)

azaz

\(\displaystyle \tag{2} (a+b+c)r=bc\sin \alpha\)

adódik. Az (1) és (2) egyenlőségek megfelelő oldalait összeszorozva kapjuk, hogy

\(\displaystyle pq\sin \alpha \cdot (a+b+c)r=(p+q)r \cdot bc\sin \alpha, \)

amiből \(\displaystyle bcpqr\sin \alpha \ne 0\)-val való osztás és rendezés után a bizonyítandó

\(\displaystyle \frac{a+b+c}{bc} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} \)

egyenlőséget kapjuk.

Török Zsombor (Bonyhád, Petőfi Sándor Ev. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

78 students sent a solution.
5 points:72 students.
4 points:3 students.
2 points:1 student.
1 point:1 student.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley