Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4609. (February 2014)

B. 4609. Find the smallest positive number c with the following property: For any set a_1,a_2,\ldots,a_n of real numbers, it is possible to select some elements of the set such that the distance of their sum from the nearest integer is at most c.

(6 pont)

Deadline expired on March 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy a legkisebb ilyen szám \(\displaystyle c=\frac{1}{n+1}\). Először is, az \(\displaystyle a_1=a_2=\dots=a_n=\frac{1}{n+1}\) esetben a lehetséges összegek \(\displaystyle \frac{1}{n+1},\frac{2}{n+1},\dots,\frac{n}{n+1}\), amiből látható, hogy \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\)-nél kisebb \(\displaystyle c\)-re nem teljesül az állítás. Most pedig igazolni fogjuk, hogy \(\displaystyle c=\frac{1}{n+1}\)-re már igen. Legyenek tehát \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) tetszőleges valós számok, és tekintsük az \(\displaystyle s_i=a_1+a_2+\dots+a_i\) összegeket (\(\displaystyle 1\leq i\leq n\)). Ha ezek között van olyan, amelynek törtrésze legfeljebb \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), vagy legalább \(\displaystyle \frac{n}{n+1}\), akkor készen is vagyunk, hiszen egy ilyen összegnek a legközelebbi egésztől vett eltérése legfeljebb \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\). Ha pedig nincs köztük ilyen, akkor a skatulya-elv miatt a \(\displaystyle \left[\frac{k}{n+1},\frac{k+1}{n+1} \right]\) intervallumok (\(\displaystyle 1\leq k\leq n-1\)) közül legalább az egyikbe két összeg is esik, mondjuk \(\displaystyle s_i\) és \(\displaystyle s_j\) (ahol \(\displaystyle i<j\)). Ekkor viszont az \(\displaystyle s_j-s_i=a_{i+1}+\dots +a_j\) összeg legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\). Ezzel igazoltuk a feladat állítását.


Statistics:

34 students sent a solution.
6 points:Ágoston Péter, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Gyulai-Nagy Szuzina, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Szőke Tamás, Várkonyi Dorka, Williams Kada.
3 points:1 student.
1 point:4 students.
0 point:7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2014