KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4614. (March 2014)

B. 4614. Let x1,...,xn and y1,...,yn be nondecreasing sequences of non-negative numbers, such that the sum of the n terms is 1. a) What is the maximum possible value of \min_{1\le i\le n} |x_i-y_i|? b) What is the maximum possible value of \sum_{i=1}^n{|x_i-y_i|}?

(5 pont)

Deadline expired on 10 April 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Ha \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle x_1=y_1=1\), és így a feladatban kérdezett minimum értéke 0. A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle n\geq 2\) és belátjuk, hogy a kérdezett minimum értéke \(\displaystyle \frac{1}{n}\).

Először is, \(\displaystyle \frac{1}{n}\) elérhető, például ha \(\displaystyle x_1=x_2=\dots=x_n=\frac{1}{n}\) és \(\displaystyle y_1=\dots=y_{n-1}=0\) és \(\displaystyle y_n=1\). (Ilyenkor \(\displaystyle |x_n-y_n|=\frac{n-1}{n}\geq\frac{1}{n}\) és minden \(\displaystyle 1\leq i<n\) egészre \(\displaystyle |x_i-y_i|=\frac{1}{n}\).) Másrészt \(\displaystyle \frac{1}{n}\)-nél nagyobb érték nem érhető el, mivel \(\displaystyle 0\leq x_1,y_1\le\frac{1}{n}\) nyilvánvalóan teljesül. (Hiszen az \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) számok közül a legkisebb nem lehet nagyobb az átlaguknál, így \(\displaystyle x_1\leq \frac{1}{n}\), és ehhez teljesen hasonlóan \(\displaystyle y_1\leq \frac{1}{n}\).) Így \(\displaystyle n=1\) esetén a válasz 0, \(\displaystyle n\geq 2\) esetén pedig \(\displaystyle \frac{1}{n}\).

b) Minden \(\displaystyle 1\leq i\leq n\) esetén teljesül, hogy \(\displaystyle |x_i-y_i|=\max(x_i,y_i)-\min(x_i,y_i)=x_i+y_i-2\min(x_i,y_i)\). Továbbá \(\displaystyle \min(x_n,y_n)\) értéke legalább \(\displaystyle \frac{1}{n}\), és így

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|\leq \sum_{i=1}^n \left(x_i+y_i-2\min(x_i,y_i)\right)\leq \left(\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)\right) -2\min(x_n,y_n)\leq 2-\frac{2}{n},\)

azaz a keresett maximum legfeljebb \(\displaystyle 2-\frac{2}{n}\) lehet. Ez azonban elő is fordulhat, hiszen az a) részben megadott \(\displaystyle x_1=x_2=\dots=x_n=\frac{1}{n}\) és \(\displaystyle y_1=\dots=y_{n-1}\), \(\displaystyle y_n=1\) sorozatokra a keresett érték éppen \(\displaystyle 2-\frac{2}{n}\). Tehát a keresett maximum értéke \(\displaystyle 2-\frac{2}{n}\).


Statistics:

49 students sent a solution.
5 points:Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szász Dániel Soma, Szebellédi Márton, Williams Kada, Zarándy Álmos.
4 points:Mócsy Miklós, Nagy Simon József, Sal Kristóf, Szőke Tamás.
3 points:10 students.
2 points:4 students.
1 point:1 student.
0 point:2 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley