Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4616. (March 2014)

B. 4616. For what values of n do the numbers 1!,2!, \ldots, n! leave pairwise different remainders when divided by n?

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle n=1, 2\) vagy \(\displaystyle 3\), akkor könnyen ellenőrizhető, hogy különböző maradékot adnak. Ha \(\displaystyle n=4\), akkor \(\displaystyle 2!=2\) és \(\displaystyle 3!=6\) azonos maradékot adnak 4-gyel osztva, azaz \(\displaystyle n=4\) nem felel meg a feltételnek. Belátjuk, hogy ha \(\displaystyle 4<n\) összetett szám, akkor \(\displaystyle n|(n-1)!\). Ha az \(\displaystyle n\) szám felírható \(\displaystyle n=ab\) alakban, ahol \(\displaystyle a<b<n\) egészek, akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) is szerepel az \(\displaystyle 1\cdot 2\cdot\dots\cdot (n-1)\) szorzatban, és így \(\displaystyle n|(n-1)!\). Csak akkor nem írható fel ilyen alakban \(\displaystyle n\), ha egy \(\displaystyle p\) prímszám négyzete, de ekkor \(\displaystyle 2p<n=p^2\), hiszen \(\displaystyle n>4\), és ezért \(\displaystyle 2n=p(2p)|(n-1)!\), azaz \(\displaystyle n|(n-1)!\) ekkor is teljesül. Tehát \(\displaystyle (n-1)!\) és \(\displaystyle n!\) azonos maradékot adnak \(\displaystyle n\)-nel osztva, vagyis a \(\displaystyle 4\)-nél nagyobb összetett számok sem felelnek meg a feltételnek. Végül, ha \(\displaystyle n>3\) prímszám, akkor a Wilson tétel miatt \(\displaystyle (n-1)!\equiv -1\ (n)\), és ezért \(\displaystyle (n-2)!\equiv 1\ (n)\), hiszen \(\displaystyle (n-1)!=(n-1)(n-2)!\equiv-(n-2)!\ (n)\). Tehát \(\displaystyle (n-2)!\) és \(\displaystyle 1!\) azonos maradékot adnak \(\displaystyle n\)-nel osztva (de \(\displaystyle 1\ne n-2\)), így a 3-nál nagyobb prímszámok sem megfelelők.

Tehát \(\displaystyle n\) értéke 1, 2 vagy 3 lehet.


Statistics:

95 students sent a solution.
4 points:Andó Angelika, Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Bősze Zsófia, Cseh Kristóf, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dömsödi Bálint, Fekete Panna, Fónai Martin, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gál Hanna, Gáspár Attila, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Juhász 326 Dániel, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Nemes György, Petrényi Márk, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szajbély Zsigmond, Szebellédi Márton, Talyigás Gergely, Tompa Tamás Lajos, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Williams Kada, Zsakó Ágnes.
3 points:22 students.
2 points:15 students.
1 point:6 students.
0 point:11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014