KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4619. (March 2014)

B. 4619. Solve the equation x^{2}-4x+3=\sqrt{1+\sqrt{x-1}}.

Suggested by B. Kovács, Szatmárnémeti

(5 pont)

Deadline expired on 10 April 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás (Érdemes tanulmányozni Ábrahám Gábor: Az \(\displaystyle f^{-1}(x)=f(x)\) típusú egyenletekről, avagy az írástudók felelősége és egyéb érdekességek c. cikkét (KöMaL, 2010. december, és www.komal.hu/cikkek/abraham/abraham.h.shtml).) A négyzetgyök alatt nemnegatív szám áll: \(\displaystyle x\ge 1\). Mivel a jobb oldal ekkor pozitív, a bal oldal is az: \(\displaystyle x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0\). Mivel \(\displaystyle x<1\) nem teljesülhet, azt kapjuk, hogy \(\displaystyle x>3\). Az egyenletet átrendezve:

(1)\(\displaystyle {(x-2)}^2+1=\sqrt{1+\sqrt{x-1}}+2.\)

Az \(\displaystyle f\colon (3;+\infty)\to (2;+\infty)\), \(\displaystyle f(x)= {(x-2)}^2+1\) függvény szigorúan monoton növekvő, bijektív az értelmezési tartományán, ezért invertálható. Inverz függvénye az \(\displaystyle f^{-1}\colon (2;+\infty)\to (3;+\infty)\), \(\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+2\). Vegyük itt mindkét oldal értékét \(\displaystyle f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+2\)-nél:

\(\displaystyle f^{-1} \big(f^{-1}(x)\big) =\sqrt{1+\sqrt{x-1}}+2. \)

A jobb oldal épp (1) jobb oldala. Ezek alapján az egyenlet:

\(\displaystyle f^{-1} \big(f^{-1}(x)\big)=f(x), \)

ami pontosan akkor igaz, ha \(\displaystyle f^{-1}(x)=f \big(f(x)\big)\), vagyis ha \(\displaystyle x=f \big(f\big(f(x)\big)\big)\).

Mivel az \(\displaystyle f\) függvény szigorúan monoton növekvő, ezért \(\displaystyle f(x)>x\) esetén \(\displaystyle f\big(f(x)\big)>f(x)>x\), amiből \(\displaystyle f\big(f\big(f(x)\big)\big)>f\big(f(x)\big) >f(x)>x\) következik. Hasonlóan, ha \(\displaystyle f(x)<x\), akkor \(\displaystyle f\big(f\big(f(x)\big)\big) <f\big(f(x)\big)<f(x)<x\).

Tehát \(\displaystyle x=f\big(f\big(f(x)\big)\big)\) csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle x=f(x)\), és ekkor valóban igaz is.

Így

\(\displaystyle {(x-2)}^2+1=x, \quad\text{amiből}\quad x^2-5x+5=0. \)

A megoldóképlet alapján \(\displaystyle x_{1,2}= \frac{5\pm\sqrt5}2\). Csak a nagyobb gyök teljesíti az \(\displaystyle x>3\) kikötést, vagyis \(\displaystyle x=\frac{5+\sqrt5}2\).

Behelyettesítve az eredeti egyenletbe, mindkét oldalon \(\displaystyle \frac{1+\sqrt5}2\) adódik, tehát a megoldás jó.

Lengyel Ádám (Budapest, Városmajori Gimn. és Kós K. Ált. Isk., 11. évf.) megoldása alapján


Statistics:

83 students sent a solution.
5 points:Andi Gabriel Brojbeanu, Borbényi Márton, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Juhász 326 Dániel, Kosztolányi Kata, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Lengyel Ádám, Maga Balázs, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Németh 777 Róbert, Osváth Tibor Attila, Pap Tibor, Porupsánszki István, Sal Kristóf, Sándor Krisztián, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simon Kristóf, Szebellédi Márton, Tóth 199 Viktor, Wiandt Péter, Williams Kada.
4 points:Csabai Bence, Sütő Máté, Szajbély Zsigmond.
3 points:15 students.
2 points:17 students.
1 point:5 students.
0 point:10 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley