KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4621. For a certain tetrahedron, there exists a sphere that touches all edges, and there exists another sphere that touches the three edges bounding one face and also the extensions of the other three edges. Show that there exists a sphere for each face that touches the three edges bounding that face and also the extensions of the other three edges.

(6 points)

Deadline expired on 10 April 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyenek az érintési pontok \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle H\), \(\displaystyle I\), \(\displaystyle J\) az ábra szerint. Mivel egy adott pontból egy adott gömbhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak, ezért \(\displaystyle AG=AF=AE=x\), \(\displaystyle BE=BH=BI=y\), \(\displaystyle CH=CJ=CF=z\) és \(\displaystyle DG=DI=DJ=v\).

Az élérintő gömb és egy lap síkjának metszete a lap (mint háromszög) beírt köre. Emiatt az egyes lapokon levő érintési pontok az adott lap beírt körének érintési pontjai is.

Legyen az \(\displaystyle ABC\) lap az, amelyhez létezik a megfelelő gömb. Ennek a gömbnek és az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjának metszete szintén az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre, így az érintési pontok itt is \(\displaystyle E\), \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle F\).

Jelölje az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BD\), illetve \(\displaystyle CD\) oldalak meghosszabításain levő érintési pontokat rendre \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\), illetve \(\displaystyle R\). Mivel adott pontból egy adott gömbhöz húzott érintőszakaszok egyenlő hosszúságúak, ezért \(\displaystyle AF=AE=AP=x\), \(\displaystyle BE=BH=BQ=y\) és \(\displaystyle CH=CF=CR=z\). Ugyanezen okból \(\displaystyle DP=DQ=DR\), azaz \(\displaystyle v+2x=v+2y=v+2z\). Ebből \(\displaystyle x=y=z\), tehát az \(\displaystyle ABC\) háromszög szabályos. Mindebből az is következik, hogy a tetraéder minden oldaléle \(\displaystyle x+v\) hosszúságú.

Azt kaptuk, hogy ha egy laphoz létezik a megfelelő gömb, akkor az a lap szabályos.

Ha viszont tekintünk egy olyan nem szabályos tetraédert, amelynek alaplapja szabályos háromszög, a többi lapja pedig egyenlő szárú háromszög, akkor annak csak az alapjához létezhet megfelelő gömb.

Tehát a feladat állítása hamis.


Statistics on problem B. 4621.
12 students sent a solution.
6 points:Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Csépai András, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Forrás Bence, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Simkó Irén, Williams Kada.
1 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley