KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4623. (April 2014)

B. 4623. In a convex quadrilateral, the diagonals form four triangles of integer areas. Prove that the product of the four integers cannot end in 2014.

(3 pont)

Deadline expired on 12 May 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy a két-két szemközti háromszög területének szorzata egyenlő. Jelölje a hároszögek területét az ábra szerint \(\displaystyle T_1\), \(\displaystyle T_2\), \(\displaystyle T_3\) és \(\displaystyle T_4\). A háromszögeknek az egyik átlóhoz tartozó magasságai legyenek \(\displaystyle m_1\) és \(\displaystyle m_2\), ennek az átlónak az átlók metszéspontja által meghatározott szakaszai pedig legyenek \(\displaystyle e_1\) és \(\displaystyle e_2\).

Ekkor

\(\displaystyle 2\,T_1=e_1m_1, \quad 2\,T_2=e_2m_1, \)

\(\displaystyle 2\,T_3=e_2m_2 \quad \text{és} \quad 2\,T_4=e_1m_2,\)

tehát

\(\displaystyle T_1T_3=\frac{e_1e_2m_1m_2}{4}=T_2T_4. \)

Ezért \(\displaystyle T_1T_2T_3T_4= {(T_1T_3)}^2\), vagyis a négy terület szorzata négyzetszám. Tudjuk, hogy a négyzetszámok 4-gyel osztva \(\displaystyle 0\) vagy \(\displaystyle 1\) maradékot adnak. Mivel a számok 4-es maradéka csak az utolsó két számjegyüktől függ, ezért ha egy szám \(\displaystyle 2014\)-re végződik, akkor a 4-es maradéka megegyezik a \(\displaystyle 14\)-nek a 4-es maradékával, azaz 2-vel. Tehát a területek szorzata nem végződhet \(\displaystyle 2014\)-re.

Varga Péter (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn. és Szki., 10. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

126 students sent a solution.
3 points:105 students.
2 points:7 students.
1 point:8 students.
0 point:4 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley