KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4624. (April 2014)

B. 4624. In a trapezium \(\displaystyle ABCD\), let \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\) denote the midpoints of the bases \(\displaystyle AB\) and \(\displaystyle CD\), respectively, and let \(\displaystyle O\) denote the intersection of the diagonals. A line parallel to the bases intersects the line segments \(\displaystyle OA\), \(\displaystyle OE\) and \(\displaystyle OB\) at points \(\displaystyle M\), \(\displaystyle N\) and \(\displaystyle P\), respectively. Show that the quadrilaterals \(\displaystyle APCN\) and \(\displaystyle BNDM\) have equal areas.

Suggested by L. Longáver, Nagybánya

(3 pont)

Deadline expired on 12 May 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A négyszögeket az \(\displaystyle MN\), illetve \(\displaystyle NP\) átlók két-két háromszögre bontják, ezért

\(\displaystyle T_{APCN} =T_{APN}+T_{PCN} \quad\text{és}\)

\(\displaystyle T_{BNDM} =T_{BNM}+T_{NDM}.\)

Az \(\displaystyle MNP\) egyenes párhuzamos a trapéz alapjaival. Ebből egyrészt a párhuzamos szelőszakaszok tétele alapján

\(\displaystyle \frac{MN}{AE}=\frac{NP}{EB}, \quad \text{vagyis} \quad \frac{MN}{NP}=\frac{AE}{EB} \)

következik, s mivel \(\displaystyle E\) felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt, ezért kapjuk, hogy \(\displaystyle MN=NP\). Másrészt a párhuzamosság miatt a \(\displaystyle PCN\) és \(\displaystyle NDM\) háromszögek \(\displaystyle C\) illetve \(\displaystyle D\), valamint az \(\displaystyle APN\) és \(\displaystyle BNM\) háromszögek \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) csúcsaihoz tartozó magasságok is megegyeznek. Ezért

\(\displaystyle T_{APN}=T_{BNM} \quad \text{és} \quad T_{PCN}=T_{NDM}, \)

amiből a feladat állítása következik.

Nagy Odett (Szeged, Radnóti M. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján


Statistics:

128 students sent a solution.
3 points:111 students.
2 points:9 students.
1 point:4 students.
0 point:4 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley