Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4624. (April 2014)

B. 4624. In a trapezium $\displaystyle ABCD$, let $\displaystyle E$ and $\displaystyle F$ denote the midpoints of the bases $\displaystyle AB$ and $\displaystyle CD$, respectively, and let $\displaystyle O$ denote the intersection of the diagonals. A line parallel to the bases intersects the line segments $\displaystyle OA$, $\displaystyle OE$ and $\displaystyle OB$ at points $\displaystyle M$, $\displaystyle N$ and $\displaystyle P$, respectively. Show that the quadrilaterals $\displaystyle APCN$ and $\displaystyle BNDM$ have equal areas.

Suggested by L. Longáver, Nagybánya

(3 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A négyszögeket az $\displaystyle MN$, illetve $\displaystyle NP$ átlók két-két háromszögre bontják, ezért

$\displaystyle T_{APCN} =T_{APN}+T_{PCN} \quad\text{és}$

$\displaystyle T_{BNDM} =T_{BNM}+T_{NDM}.$

Az $\displaystyle MNP$ egyenes párhuzamos a trapéz alapjaival. Ebből egyrészt a párhuzamos szelőszakaszok tétele alapján

$\displaystyle \frac{MN}{AE}=\frac{NP}{EB}, \quad \text{vagyis} \quad \frac{MN}{NP}=\frac{AE}{EB}$

következik, s mivel $\displaystyle E$ felezi az $\displaystyle AB$ szakaszt, ezért kapjuk, hogy $\displaystyle MN=NP$. Másrészt a párhuzamosság miatt a $\displaystyle PCN$ és $\displaystyle NDM$ háromszögek $\displaystyle C$ illetve $\displaystyle D$, valamint az $\displaystyle APN$ és $\displaystyle BNM$ háromszögek $\displaystyle A$, illetve $\displaystyle B$ csúcsaihoz tartozó magasságok is megegyeznek. Ezért

$\displaystyle T_{APN}=T_{BNM} \quad \text{és} \quad T_{PCN}=T_{NDM},$