KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4625. How many ordered pairs \(\displaystyle (A,B)\) are there such that \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\) are subsets of a fixed \(\displaystyle n\)-element set, and \(\displaystyle A\subseteq B\)?

(4 points)

Deadline expired on 12 May 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a feladatban szereplő \(\displaystyle n\) elemű halmaz egy tetszőleges eleme \(\displaystyle x\). Mivel \(\displaystyle A\subseteq B\), ezért a következő három lehetőség közül pontosan az egyik teljesül: (i) \(\displaystyle x\in A\) és \(\displaystyle x\in B\) (ii) \(\displaystyle x\notin A\), de \(\displaystyle x\in B\) (iii) \(\displaystyle x\notin A\), \(\displaystyle x\notin B\). Megfordítva, ha minden az \(\displaystyle n\) elemre ezen három lehetőség valamelyike áll fenn, vagyis nincs olyan \(\displaystyle x\) elem, amelyre \(\displaystyle x\in A\), de \(\displaystyle x\notin B\) teljesülne, akkor \(\displaystyle A\subseteq B\) is teljesül. Mivel a különböző elemekre egymástól függetlenül (az összes lehetséges módon) kiválasztható, hogy a három lehetőség közül melyik teljesül, és ez már meghatározza \(\displaystyle A\)-t és \(\displaystyle B\)-t, ezért a feladat kérdésére a válasz \(\displaystyle 3^n\).


Statistics on problem B. 4625.
79 students sent a solution.
4 points:63 students.
3 points:9 students.
2 points:1 student.
1 point:5 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley