KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4626. (April 2014)

B. 4626. Prove that \(\displaystyle {(1+a)}^4 {(1+b)}^4 \ge 64ab {(a+b)}^2\) for all \(\displaystyle a,b\ge 0\).

(6 pont)

Deadline expired on 12 May 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Írjuk fel a számtani és a mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle 1,ab, \frac{a+b}2, \frac{a+b}2\) számokra:

\(\displaystyle \frac{1+ab+\frac{a+b}2+\frac{a+b}2}4 \ge \root{4}\of{1\cdot ab\cdot \frac{a+b}2\cdot \frac{a+b}2} \)(1)

Ebből rendezés és negyedik hatványra emelés után kapjuk az állítást:

\(\displaystyle (1+a)(1+b)=1+a+b+ab \ge 2\sqrt2 \root4\of{a} \root4\of{b} \sqrt{a+b} \)

\(\displaystyle (1+a)^4 (1+b)^4 \ge 64ab (a+b)^2. \)

Egyenlőség akkor van, ha az \(\displaystyle 1,ab, \frac{a+b}2\) számok, amelyeknek a közepeit (1)-ben felírtuk, egyenlők, azaz \(\displaystyle 1=ab=\frac{a+b}2\). Ilyenkor az \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) számok számtani és mértani közepe is 1, ami csak úgy lehet, ha \(\displaystyle a=b=1\).


Statistics:

52 students sent a solution.
6 points:Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Fekete Panna, Forrás Bence, Gál Hanna, Geng Máté, Gyulai-Nagy Szuzina, Hansel Soma, Horeftos Leon, Hraboczki Attila Márton, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Maga Balázs, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szegi Bogát, Tompa Tamás Lajos, Williams Kada.
5 points:Bereczki Ádám, Bodolai Előd, Dinev Georgi, Győrfi-Bátori András, Kocsis Júlia, Lengyel Ádám, Maglódi Ádám, Mócsy Miklós, Öreg Botond, Páli Petra, Sal Kristóf, Schefler Barna, Vu Mai Phuong.
3 points:1 student.
0 point:10 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley