KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4627. The angle bisector drawn from right-angled vertex \(\displaystyle C\) of triangle \(\displaystyle ABC\) intersects the circumscribed circle at point \(\displaystyle P\), and the angle bisector from vertex \(\displaystyle A\) intersects the circumscribed circle at point \(\displaystyle Q\). \(\displaystyle K\) is the intersection of line segments \(\displaystyle PQ\) and \(\displaystyle AB\). The centre of the inscribed circle is \(\displaystyle O\), and its point of tangency on side \(\displaystyle AC\) is \(\displaystyle E\). Prove that points \(\displaystyle E\), \(\displaystyle O\) and \(\displaystyle K\) are collinear.

Suggested by Zs. Sárosdi, Veresegyház

(4 points)

Deadline expired on 12 May 2014.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle CAB\sphericalangle =\alpha\), ekkor \(\displaystyle CBA\sphericalangle =\beta=90^{\circ}-\alpha\). A kerületi szögek tétele miatt:

\(\displaystyle CPA\sphericalangle =CBA\sphericalangle =90^{\circ}-\alpha, \)

hasonlóan

\(\displaystyle BAQ\sphericalangle =CAQ\sphericalangle =CPQ\sphericalangle =\frac{\alpha}{2}. \)

Így \(\displaystyle OAK\sphericalangle =OPK =\frac{\alpha}{2}\), ezért \(\displaystyle OKPA\) húrnégyszög. Az \(\displaystyle OKPA\) húrnégyszög köré írt körben \(\displaystyle OKA\sphericalangle =OPA\sphericalangle =90^{\circ}-\alpha\), mivel azonos íven nyugvó kerületi szögek.

Hosszabbítsuk meg \(\displaystyle OK\)-t, legyen \(\displaystyle OK\) és \(\displaystyle AC\) metszéspontja \(\displaystyle D\). A háromszög belső szögeinek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), ezért

\(\displaystyle KDA\sphericalangle =180^{\circ}-DKA\sphericalangle -DAK\sphericalangle =90^{\circ}. \)

Így \(\displaystyle KDA\sphericalangle =90^{\circ}\). Az \(\displaystyle O\)-nak az \(\displaystyle AC\)-re való merőleges vetülete az \(\displaystyle E\) pont. Ebből következik, hogy \(\displaystyle D=E\), tehát \(\displaystyle E\), \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle K\) kollineárisak.

Szebellédi Márton (Budapesti Fazekas M. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján


Statistics on problem B. 4627.
68 students sent a solution.
4 points:57 students.
3 points:4 students.
2 points:3 students.
1 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley