Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4628. (April 2014)

B. 4628. Show that if $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ and $\displaystyle \gamma$ are the angles of a triangle then $\displaystyle \sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \cos\gamma+\sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\gamma+ \cos\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma\le \frac 98$.

(4 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alakítsuk át a bal oldal négyszeresét a $\displaystyle \sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}$, a $\displaystyle \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}$, valamint a $\displaystyle \cos(2x-\pi)=\cos(\pi-2x)$ trigonometrikus azonosságok felhasználásával:

$\displaystyle 4\sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \cos\gamma+4\sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\gamma+ 4\cos\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma=$

$\displaystyle =2\sin\alpha(\sin(\beta+\gamma)+\sin(\beta-\gamma))+2\sin\gamma(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))+2\sin\beta(\sin(\gamma+\alpha)+\sin(\gamma-\alpha))=$

$\displaystyle =\cos(\alpha-(\beta+\gamma))-\cos(\alpha+\beta+\gamma)+\cos(\alpha-(\beta-\gamma))-\cos(\alpha+(\beta-\gamma))+$

$\displaystyle +\cos(\gamma-(\alpha+\beta))-\cos(\gamma+\alpha+\beta)+\cos(\gamma-(\alpha-\beta))-\cos(\gamma+(\alpha-\beta))+$

$\displaystyle +\cos(\beta-(\gamma+\alpha))-\cos(\beta+\gamma+\alpha)+\cos(\beta-(\gamma-\alpha))-\cos(\beta+(\gamma-\alpha))=$

$\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)-3\cos(\alpha+\beta+\gamma)+\cos(\pi-2\gamma)+\cos(\pi-2\beta)=$

$\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)-3\cos(\pi)=$

$\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)+3.$

Erről kell belátni, hogy értéke legfeljebb $\displaystyle 4\cdot\frac98$, ami ekvivalens azzal, hogy

$\displaystyle \cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)\leq\frac32.$

Mivel $\displaystyle \cos(\pi- x)=-\cos x$, ez ekvivalens a következővel:

$\displaystyle \cos(2\alpha)+\cos(2\beta)+\cos(2\gamma)\geq-\frac{3}{2}.$

Legyenek $\displaystyle \underline{u}$, $\displaystyle \underline{v}$ és $\displaystyle \underline{z}$ egy pontból kiinduló egységvektorok, melyekre teljesül, hogy az $\displaystyle \underline{u}$ és a $\displaystyle \underline{v}$, a $\displaystyle \underline{v}$ és a $\displaystyle \underline{z}$, illetve a $\displaystyle \underline{z}$ és az $\displaystyle \underline{u}$ által bezárt szögek rendre $\displaystyle 2\alpha$, $\displaystyle 2\beta$, illetve $\displaystyle 2\gamma$. Ekkor

$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v}+\underline{z})^2\geq0,$

amiből

$\displaystyle \underline{u}^2+\underline{v}^2+\underline{z}^2+2(\underline{uv}+\underline{vz}+\underline{zu})\geq0,$

vagyis

$\displaystyle 3+2\cos(2\alpha)+2\cos(2\beta)+2\cos(2\gamma)\geq0,$

és így

$\displaystyle \cos(2\alpha)+\cos(2\beta)+\cos(2\gamma)\geq-\frac{3}{2}.$

Ezzel a bizonyítást befejeztük. Egyenlőség csak akkor van, ha $\displaystyle 2\alpha=2\beta=2\gamma=120^{\circ}$, vagyis a háromszög szabályos.

### Statistics:

 60 students sent a solution. 4 points: Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Gracia Dániel, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Heinc Emília, Kovács 972 Márton, Lengyel Ádám, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Olexó Gergely, Öreg Botond, Páli Petra, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Ratkovics Gábor, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Sütő Máté, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Vágó Ákos, Varga Rudolf, Vu Mai Phuong, Williams Kada, Zsakó Ágnes. 3 points: 13 students. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. 0 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014