KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4628. (April 2014)

B. 4628. Show that if \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\) and \(\displaystyle \gamma\) are the angles of a triangle then \(\displaystyle \sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \cos\gamma+\sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\gamma+ \cos\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma\le \frac 98\).

(4 pont)

Deadline expired on 12 May 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Alakítsuk át a bal oldal négyszeresét a \(\displaystyle \sin x\cos y=\frac{\sin(x+y)+\sin(x-y)}{2}\), a \(\displaystyle \sin x\sin y=\frac{\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}\), valamint a \(\displaystyle \cos(2x-\pi)=\cos(\pi-2x)\) trigonometrikus azonosságok felhasználásával:

\(\displaystyle 4\sin\alpha\cdot \sin\beta\cdot \cos\gamma+4\sin\alpha\cdot \cos\beta\cdot \sin\gamma+ 4\cos\alpha\cdot \sin\beta\cdot \sin\gamma=\)

\(\displaystyle =2\sin\alpha(\sin(\beta+\gamma)+\sin(\beta-\gamma))+2\sin\gamma(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))+2\sin\beta(\sin(\gamma+\alpha)+\sin(\gamma-\alpha))=\)

\(\displaystyle =\cos(\alpha-(\beta+\gamma))-\cos(\alpha+\beta+\gamma)+\cos(\alpha-(\beta-\gamma))-\cos(\alpha+(\beta-\gamma))+\)

\(\displaystyle +\cos(\gamma-(\alpha+\beta))-\cos(\gamma+\alpha+\beta)+\cos(\gamma-(\alpha-\beta))-\cos(\gamma+(\alpha-\beta))+\)

\(\displaystyle +\cos(\beta-(\gamma+\alpha))-\cos(\beta+\gamma+\alpha)+\cos(\beta-(\gamma-\alpha))-\cos(\beta+(\gamma-\alpha))=\)

\(\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)-3\cos(\alpha+\beta+\gamma)+\cos(\pi-2\gamma)+\cos(\pi-2\beta)=\)

\(\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)-3\cos(\pi)=\)

\(\displaystyle =\cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)+3.\)

Erről kell belátni, hogy értéke legfeljebb \(\displaystyle 4\cdot\frac98\), ami ekvivalens azzal, hogy

\(\displaystyle \cos(\pi-2\alpha)+\cos(\pi-2\beta)+\cos(\pi-2\gamma)\leq\frac32.\)

Mivel \(\displaystyle \cos(\pi- x)=-\cos x\), ez ekvivalens a következővel:

\(\displaystyle \cos(2\alpha)+\cos(2\beta)+\cos(2\gamma)\geq-\frac{3}{2}.\)

Legyenek \(\displaystyle \underline{u}\), \(\displaystyle \underline{v}\) és \(\displaystyle \underline{z}\) egy pontból kiinduló egységvektorok, melyekre teljesül, hogy az \(\displaystyle \underline{u}\) és a \(\displaystyle \underline{v}\), a \(\displaystyle \underline{v}\) és a \(\displaystyle \underline{z}\), illetve a \(\displaystyle \underline{z}\) és az \(\displaystyle \underline{u}\) által bezárt szögek rendre \(\displaystyle 2\alpha\), \(\displaystyle 2\beta\), illetve \(\displaystyle 2\gamma\). Ekkor

\(\displaystyle (\underline{u}+\underline{v}+\underline{z})^2\geq0,\)

amiből

\(\displaystyle \underline{u}^2+\underline{v}^2+\underline{z}^2+2(\underline{uv}+\underline{vz}+\underline{zu})\geq0,\)

vagyis

\(\displaystyle 3+2\cos(2\alpha)+2\cos(2\beta)+2\cos(2\gamma)\geq0,\)

és így

\(\displaystyle \cos(2\alpha)+\cos(2\beta)+\cos(2\gamma)\geq-\frac{3}{2}.\)

Ezzel a bizonyítást befejeztük. Egyenlőség csak akkor van, ha \(\displaystyle 2\alpha=2\beta=2\gamma=120^{\circ}\), vagyis a háromszög szabályos.


Statistics:

60 students sent a solution.
4 points:Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Gracia Dániel, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Heinc Emília, Kovács 972 Márton, Lengyel Ádám, Nagy Gergely, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Olexó Gergely, Öreg Botond, Páli Petra, Paulovics Zoltán, Petrényi Márk, Porupsánszki István, Ratkovics Gábor, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Sütő Máté, Szabó 157 Dániel, Szabó 524 Tímea, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Vágó Ákos, Varga Rudolf, Vu Mai Phuong, Williams Kada, Zsakó Ágnes.
3 points:13 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley