KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4633. (May 2014)

B. 4633. There are some points marked in the interior of a triangle, such that no three of them (including the vertices) are collinear. The points are connected to each other and to the vertices of the triangle so that the resulting line segments should not intersect, and the triangle should be divided into the largest possible number of smaller triangles. Prove that the number of small triangles formed is odd.

(3 pont)

Deadline expired on 10 June 2014.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a háromszög belsejében felvett pontok száma \(\displaystyle n\), a keletkezett kis háromszögek száma pedig \(\displaystyle k\). Mivel az összekötő szakaszokat úgy rajzoltuk meg, hogy a lehető legtöbb kis háromszöget kapjuk, azok az eredeti háromszöget csupa háromszögre bontják. Ha ugyanis lenne a felbontásban háromnál több oldalú sokszög, annak néhány megfelelő átlóját meghúzva további kis háromszögeket kapnánk.

Mivel bármely háromszögben a belső szögek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), a keletkezett kis háromszögek belső szögeinek összege \(\displaystyle k\cdot 180^{\circ}\). E szögek összegét viszont úgy is megkaphatjuk, hogy egyrészt minden belső pontnál van \(\displaystyle 360^{\circ}\), másrészt az eredeti háromszög csúcsainál lévő összes szöget, azaz \(\displaystyle 180^{\circ }\)-ot is egyszer számolnunk kell. Tehát

\(\displaystyle k\cdot 180^{\circ}=n\cdot 360^{\circ}+180^{\circ}. \)

Ebből kapjuk, hogy \(\displaystyle k=2n+1\), azaz a keletkezett kis háromszögek száma mindig páratlan.

Varga Péter, (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., 11. évf.) dolgozatát felhasználva


Statistics:

100 students sent a solution.
3 points:93 students.
2 points:7 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley