A B. 4633. feladat (2014. május)

B. 4633. Egy háromszög belsejében felveszünk néhány pontot úgy, hogy közülük semelyik három (beleértve a csúcsokat is) nem esik egy egyenesre. A pontokat egymással és a háromszög csúcsaival úgy kötjük össze, hogy a kapott szakaszok ne messék egymást, és a háromszöget a lehető legtöbb kis háromszögre bontsák. Bizonyítsuk be, hogy a keletkezett kis háromszögek száma páratlan.

(3 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a háromszög belsejében felvett pontok száma \(\displaystyle n\), a keletkezett kis háromszögek száma pedig \(\displaystyle k\). Mivel az összekötő szakaszokat úgy rajzoltuk meg, hogy a lehető legtöbb kis háromszöget kapjuk, azok az eredeti háromszöget csupa háromszögre bontják. Ha ugyanis lenne a felbontásban háromnál több oldalú sokszög, annak néhány megfelelő átlóját meghúzva további kis háromszögeket kapnánk.

Mivel bármely háromszögben a belső szögek összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), a keletkezett kis háromszögek belső szögeinek összege \(\displaystyle k\cdot 180^{\circ}\). E szögek összegét viszont úgy is megkaphatjuk, hogy egyrészt minden belső pontnál van \(\displaystyle 360^{\circ}\), másrészt az eredeti háromszög csúcsainál lévő összes szöget, azaz \(\displaystyle 180^{\circ }\)-ot is egyszer számolnunk kell. Tehát

\(\displaystyle k\cdot 180^{\circ}=n\cdot 360^{\circ}+180^{\circ}. \)

Ebből kapjuk, hogy \(\displaystyle k=2n+1\), azaz a keletkezett kis háromszögek száma mindig páratlan.

Varga Péter, (Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., 11. évf.) dolgozatát felhasználva

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	93 versenyző.
2 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai