A B. 4637. feladat (2014. május)

B. 4637. Sir Bedevir csak akkor indul el egy lovagi tornán, ha tudja, hogy legalább 1/2 valószínűséggel győzni fog. Bármely összecsapás esetén az ellenfelek győzelmének valószínűsége a harcképességükkel arányos. Bedevir harcképessége 1, \(\displaystyle n\)-edik ellenfelének a harcképessége pedig \(\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}-1}\). Hány lovag jelentkezhetett a tornára, ha Bedevir gondos számolás után úgy döntött, hogy ő is elindul?

(EMMV)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy összecsapásban, ha a felek harcképessége \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), akkor az \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle b\) harcképességű fél rendre \(\displaystyle \frac{a}{a+b}\), illetve \(\displaystyle \frac{b}{a+b}\) valószínűséggel győz.

Tehát Bedevir és az \(\displaystyle n\)-edik ellenfele közötti összecsapásban Bedevir győzelmének \(\displaystyle B_n\) valószínűsége:

\(\displaystyle B_n=\frac{1}{1+\frac{1}{2^{n+1}-1}}=\frac{2^{n+1}-1}{\big(2^{n+1}-1\big)+1} =\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}. \)

Becsüljük a tagokat alulról:

\(\displaystyle \frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}} =1-\frac{1}{2^{n+1}}>1-\frac{1}{2^{n+1}-1} =\frac{\big(2^{n+1}-1\big)-1}{2^{n+1}-1}=\)

\(\displaystyle = \frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1} =\frac{2(2^n-1)}{2^{n+1}-1}=2\cdot\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}.\)

Legyen Bedevir ellenfeleinek száma \(\displaystyle k\). Ekkor - mivel az összecsapások egymástól függetlenek - annak a valószínűsége, hogy Bedevir lesz a torna győztese:

\(\displaystyle P_k(B) =\prod_{n=1}^kB_n=\prod_{n=1}^k\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}>\prod_{n=1}^k 2\cdot\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}= 2^k\prod_{n=1}^k\frac{2^n-1}{2^{n+1}-1}=\)

\(\displaystyle =2^k\cdot\frac{2-1}{4-1}\cdot\frac{4-1}{8-1} \cdot\ldots\cdot\frac{2^{k-1}-1}{2^k-1} \cdot\frac{2^k-1}{2^{k+1}-1}= 2^k\cdot\frac{1}{2^{k+1}-1}>\frac{2^k}{2^{k+1}}=\frac12.\)

Tehát tetszőleges (bármilyen nagy) \(\displaystyle k\)-ra \(\displaystyle P_k(B)>\frac12\).

Mivel ez volt a feltétele Bedevir indulásának, ezért tetszőlegesen sok lovag jelentkezhetett a tornára (a jelentkezők száma Bedevirrel együtt \(\displaystyle k+1\)).

Seress Dániel (Debreceni Ref. Koll. Dóczy Gimn., 12. évf.)

Statisztika:

65 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Péter, Andó Angelika, Balogh Menyhért, Baran Zsuzsanna, Cseh Kristóf, Csépai András, Csitári Nóra, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gáspár Attila, Győrfi-Bátori András, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kovács 972 Márton, Kuchár Zsolt, Kúsz Ágnes, Leitereg Miklós, Lőrinczy Zsófia Noémi, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Olexó Gergely, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Szakács Lili Kata, Szebellédi Márton, Török Tímea, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Bereczki Zoltán, Csernák Tamás, Kátay Tamás, Lajkó Kálmán, Nagy Gergely, Schefler Barna, Simkó Irén, Szőke Tamás, Telek Máté László, Tóth Ádám Bars.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

A KöMaL 2014. májusi matematika feladatai