A B. 4653. feladat (2014. október)

B. 4653. Hány olyan pozitív egészekből álló \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) rendezett számhármas van, amelyre igaz, hogy \(\displaystyle [a,b,c]=10!\) és \(\displaystyle (a,b,c)=1\)? (Az \(\displaystyle (a,b,c)\) a legnagyobb közös osztót, az \(\displaystyle [a,b,c]\) pedig a legkisebb közös többszöröst jelenti.)

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle 10!\) szám prímtényezős felbontása:

\(\displaystyle 10!=2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7^1. \)

Tegyük fel, hogy \(\displaystyle 10!\) kanonikus alakjában a \(\displaystyle p\) prímszám az \(\displaystyle \alpha\)-adik hatványon szerepel. Ekkor \(\displaystyle (a,b,c)=1\) és \(\displaystyle [a,b,c]=10!\) teljesülése esetén \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) között szerepelnie kell olyan számnak, ami nem osztható \(\displaystyle p\)-vel, olyannak, amit \(\displaystyle p\) pontosan az \(\displaystyle \alpha\)-adik hatványon oszt, és a harmadik számban is legfeljebb \(\displaystyle \alpha\) lehet \(\displaystyle p\) kitevője. Ha ezek a feltételek mind a négy prímosztóra teljesülnek, továbbá az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok összes prímosztója a 2, 3, 5, 7 közül kerül ki, akkor \(\displaystyle (a,b,c)=1\) és \(\displaystyle [a,b,c]=10!\) valóban teljesül.

Vizsgáljuk most meg, hogy az \(\displaystyle a,b,c\) számok prímtényezős felbontásában \(\displaystyle p\) kitevője (ahol \(\displaystyle p\) a \(\displaystyle 10!\) egyik prímosztója) hányféle módon választható meg. Legyen a három kitevő \(\displaystyle 0,\alpha\) és \(\displaystyle \beta\). Ha \(\displaystyle 0<\beta<\alpha\), akkor 6-féle sorrend lehetséges, ha \(\displaystyle \beta=0\) vagy \(\displaystyle \beta=\alpha\), akkor pedig 3-3. Tehát összességében \(\displaystyle p\) kitevőjének megválasztására a három számban \(\displaystyle 6(\alpha-1)+2\cdot 3=6\alpha\) lehetőség van. A különböző prímosztókra a kitevőket egymástól függetlenül válaszhatjuk meg, így az olyan \(\displaystyle a,b,c\) pozitív egész számokból álló rendezett hármasok száma, amelyekre teljesül a feltétel, összesen \(\displaystyle (6\cdot 8)\cdot (6\cdot 4)\cdot (6\cdot 2)\cdot (6\cdot 1)=82\;944\).

Radnai Bálint (Veszprém, Lovassy László Gimn., 9. évf.)

Statisztika:

208 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	81 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	37 versenyző.
1 pontot kapott:	46 versenyző.
0 pontot kapott:	20 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2014. októberi matematika feladatai