Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4662. feladat (2014. november)

B. 4662. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög oldalaira kifelé rajzolt szabályos háromszögek harmadik csúcsai \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\). Szerkesszük meg az \(\displaystyle ABC\) háromszöget, ha adottak a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontok.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.


Megoldási ötlet: Forgassunk \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontok körül.

Megoldás. Az \(\displaystyle ACF\sphericalangle, CEB\sphericalangle\) és \(\displaystyle BDA\sphericalangle\) \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szögek, mivel szabályos háromszögek csúcsairól van szó.

Vegyünk fel egy tetszőleges \(\displaystyle P_{1}\) pontot. Forgassuk el ezt \(\displaystyle F\) pont körül pozitív irányba \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal, ekkor megkapjuk a \(\displaystyle P_{2}\) pontot. Ezt követően a \(\displaystyle P_{2}\)-t forgassuk el \(\displaystyle E\) körül pozitív irányba \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal, ekkor kapjuk a \(\displaystyle P_{3}\) pontot. Végül a \(\displaystyle P_{3}\) pontot forgassuk el a \(\displaystyle D\) körül pozitív irányba \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal, ekkor jutunk a \(\displaystyle P_{4}\) ponthoz.

Egymás után három azonos irányú \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os forgatást végeztünk el, tehát egy \(\displaystyle 3\cdot 60^{\circ}= 180^{\circ}\)-os forgatást. A \(\displaystyle 180^{\circ}\)-os forgatás egy középpontos tükrözésnek felel meg. A háromszögek szabályossága miatt \(\displaystyle A\)-t \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal pozitív irányba \(\displaystyle F\) körül elforgatva a \(\displaystyle C\) ponthoz jutunk, ezt \(\displaystyle E\) körül pozitív irányba \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal elforgatva a \(\displaystyle B\) pontot kapjuk meg, ezt pedig \(\displaystyle D\) körül pozitív irányba szintén \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal elforgatva visszakapjuk az \(\displaystyle A\) pontot. Tehát az összesen \(\displaystyle 180^{\circ}\)-os forgatást elvégezve \(\displaystyle A\)-ból visszajutunk \(\displaystyle A\)-ba, tehát \(\displaystyle A\) a fixpontja a középpontos tükrözésnek.

Azt látjuk, hogy \(\displaystyle P_{1}\)-et \(\displaystyle A\)-ra tükrözve a \(\displaystyle P_{4}\) pontot kaptuk. Mivel középpontosan tükröztünk, az \(\displaystyle A\) pont éppen a \(\displaystyle P_{1}P_{4}\) szakasz felezőpontja. Így az \(\displaystyle A\) pontot a leírtak alapján meg is tudjuk szerkeszteni. \(\displaystyle A\)-ból pedig megszerkeszthető a háromszög többi csúcsa is: \(\displaystyle A\)-t pozitív irányba \(\displaystyle F\) körül elforgatva megkapjuk a \(\displaystyle C\) pontot, \(\displaystyle C\)-t \(\displaystyle E\) körül pozitív irányba szinén \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal elforgatva megkapjuk a \(\displaystyle B\) pontot is. Tehát megszerkesztettük az \(\displaystyle ABC\) háromszöget.

Előfordulhat a szerkesztés során, hogy nem létezik a \(\displaystyle P_{1}P_{4}\) szakasz, mivel a két pont egybeesik. Ekkor \(\displaystyle P_{1}\) a középpontos tükrözés fixpontja, vagyis éppen a keresett \(\displaystyle A\) csúcs. Ezután a szerkesztés az előbb leírtak szerint, két forgatással fejezhető be.

Török Tímea (Bonyhádi Petőfi Sándor Evang. Gimn., 10. évf.) dolgozata alapján


Statisztika:

91 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Bereczki Ádám, Csitári Nóra, Demeter Gergő, Dobák Dávid, Döbröntei Dávid Bence, Erdődi Ádám Károly, Fekete Panna, Gál Boglárka, Glattfelder Hanna, György Levente, Gyulai-Nagy Szuzina, Janzer Orsolya Lili, Jenei Dániel Gábor, Juhász 326 Dániel, Kerekes Anna, Khayouti Sára, Kis 999 Alexandra, Kosztolányi Kata, Kovács 246 Benedek, Kovács 526 Tamás, Kovács 972 Márton, Kovács Kitti Fanni, Mályusz Attila, Nagy Odett, Nagy-György Pál, Nagy-György Zoltán, Németh 123 Balázs, Németh Hanna, Öreg Botond, Polgár Márton, Schrettner Bálint, Szakács Lili Kata, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Szentivánszki Soma , Tibay Álmos, Tóth Viktor, Török Tímea, Török Zsombor Áron, Vágó Ákos, Váli Benedek, Vankó Miléna, Varga-Umbrich Eszter, Várkonyi Dorka, Varsányi András, Vass Máté.
3 pontot kapott:20 versenyző.
2 pontot kapott:12 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai