A B. 4677. feladat (2014. december)

B. 4677. Igazoljuk, hogy ha az \(\displaystyle ABCD\) tetraéder egyenlő oldalú (azaz szemközti élei egyenlő hosszúak), akkor a \(\displaystyle D\)-ből induló magasságvonal talppontja rajta van az \(\displaystyle ABC\) háromszög Euler-egyenesén.

Javasolta: Szabó Csaba (Budapest)

(6 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. A megoldás kulcsa az a tény, hogy egy egyenlő oldalú tetraéder körülírt gömbjének \(\displaystyle K\) középpontja egybeesik a tetraéder \(\displaystyle S\) súlypontjával.

Tekintsük az egyenlő oldalú tetraéderünk \(\displaystyle AB_{1}CD_{1}A_{1}BC_{1}D\) bennfoglaló paralelepipedonját (1. ábra). Mivel a szemközti paralelogrammalapok nem megfelelő átlói egyenlők, ezért minden lapja téglalap, vagyis igazából téglatestet adtunk meg. Ekkor \(\displaystyle K\) éppen a téglatest köré írt gömb középpontja, hisz ez a gömb \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\)-t tartalmazza. Továbbá \(\displaystyle S\) az \(\displaystyle AC\) oldal \(\displaystyle F\) felezőpontját (\(\displaystyle AB_{1}CD_{1}\) középpontját) és a \(\displaystyle BD\) oldal \(\displaystyle G\) felezőpontját (\(\displaystyle A_{1}BC_{1}D\) középpontját) összekötő szakasz felezőpontja. Mindkettő definíció a téglatest középpontját adja meg, ezért \(\displaystyle K=S\).

1. ábra

Legyen \(\displaystyle S_{0}\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontja. A tetraéder geometriájából ismert, hogy \(\displaystyle S\) a \(\displaystyle DS_{0}\) súlyvonal \(\displaystyle S_{0}\)-hoz közelebbi negyedelőpontja. Legyen \(\displaystyle K \)merőleges vetülete az \(\displaystyle ABC\) síkra \(\displaystyle K_{0}\), akkor az \(\displaystyle AK_{0}K\), \(\displaystyle BK_{0}K\), \(\displaystyle CK_{0}K\) háromszögek egybevágóak, hiszen derékszögű háromszögek, melyeknek átfogója (\(\displaystyle r\)) és \(\displaystyle K_{0}K\) befogója megegyezik, emiatt \(\displaystyle K_{0}A=K_{0}B=K_{0}C\), vagyis \(\displaystyle K_{0}\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög köré írt kör középpontja (2. ábra).

2. ábra

Tekintsük az \(\displaystyle S_{0}\) középpontú 4-szeres nagyítást. Ezzel a transzformációval, mint tudjuk, \(\displaystyle S\) képe \(\displaystyle D\) lesz, s eközben \(\displaystyle K_{0}\) (az \(\displaystyle S=K\) pont vetülete az \(\displaystyle ABC\) síkon) a \(\displaystyle D\) pont vetületébe, \(\displaystyle D_{0}\)-ba képződik (3. ábra).

3. ábra

Ezzel megkaptuk, hogy a \(\displaystyle D\) pont merőleges vetülete, vagyis a tetraéder \(\displaystyle D\)-ből induló magasságának talppontja az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle S_{0}K_{0}\) Euler-vonalára illeszkedik.

Megjegyzés. A feladat kitűzése, így a megoldás is feltételezi, hogy az \(\displaystyle ABC\) háromszögnek van Euler-vonala, azaz \(\displaystyle S_{0}\ne K_{0}\). Ismert, hogy ez pontosan akkor áll fenn, ha \(\displaystyle ABC\) háromszög nem szabályos. Vagyis a feladat állítása és a bizonyítás csakis nem szabályos, egyenlő oldalú tetraéderekre érvényes. (Szabályos tetraéderben \(\displaystyle D\) vetülete \(\displaystyle ABC\)-re éppen \(\displaystyle S_{0}{=K}_{0}\).)

Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Kís. Gimn. és Ált. Isk., 10. évf.) dolgozata alapján

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Döbröntei Dávid Bence, Fekete Panna, Gál Boglárka, Gáspár Attila, Gyulai-Nagy Szuzina, Katona Dániel, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács Péter Tamás, Lajkó Kálmán, Mócsy Miklós, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy-György Pál, Porupsánszki István, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Szebellédi Márton, Szécsényi Nándor, Széles Katalin, Tóth Viktor, Vághy Mihály, Varga-Umbrich Eszter, Várkonyi Dorka, Wei Cong Wu, Williams Kada.
5 pontot kapott:	Keresztfalvi Bálint, Khayouti Sára.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai