 |
A B. 4764. feladat (2016. január) |
B. 4764. Tekintsük a síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az összes olyan egyenest, amelynek az egyenlete felírható \(\displaystyle aX+\frac{Y}{a}=2\) alakban, ahol \(\displaystyle a\) valós szám. Határozzuk meg a sík azon pontjainak halmazát, amelyek egyik egyenesen sincsenek rajta.
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Azonnal látható, hogy az origó esetében a bal oldal nulla, tehát az origó hozzátartozik a ponthalmazhoz. Az is leolvasható, hogy a két koordináta-tengely további pontjai már nem tartoznak a halmazhoz, mert \(\displaystyle X=0, Y\neq 0\) esetén az \(\displaystyle a=\frac{Y}{2}\), míg \(\displaystyle X\neq 0 , Y=0\) esetén az \(\displaystyle a=\frac{2}{X}\) megfelelő választás. A továbbiakban feltehetjük, hogy \(\displaystyle X\cdot Y \neq 0\). A feltételt átrendezve \(\displaystyle a\)-ra másodfokú egyenletet kapunk:
\(\displaystyle aX + \frac{Y}{a} = 2,\)
\(\displaystyle X\cdot a^{2}-2\cdot a +Y=0.\)
Ennek akkor nincs valós megoldása, ha a diszkrimináns negatív:
\(\displaystyle D=4-4XY< 0,\)
\(\displaystyle XY> 1.\)
Az \(\displaystyle XY=1\)-hez tartozó görbe egy egyenlő szárú hiperbola. A keresett ponthalmaz: a pozitív hiperbolaív feletti pontok, a negatív hiperbolaív alatti pontok és az origó.
Megjegyzés: 1. Általában azok kaptak 4 pontot, akik az origóról megfeledkeztek.
2. A feladatban szereplő \(\displaystyle aX + \frac{Y}{a} = 2\) egyenlettel megadott egyenes az \(\displaystyle XY=1\) hiperbola \(\displaystyle \left(\frac{1}{a}, a\right)\) pontbeli érintője.
Statisztika:
107 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Alexy Marcell, Andó Angelika, Ardai István Tamás, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bereczki Ádám, Bindics Boldizsár, Bodolai Előd, Busa 423 Máté, Dobák Dávid, Dömsödi Bálint, Fajszi Bulcsú, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Glasznova Maja, Horváth András János, Jakus Balázs István, Kasó Ferenc, Kerekes Anna, Keresztes László, Kondákor Márk, Kosztolányi Kata, Kovács 246 Benedek, Kővári Péter Viktor, Lajos Hanka, Matolcsi Dávid, Németh 123 Balázs, Nguyen Viet Hung, Noszály Áron, Pálfy Máté András, Páli Petra, Polgár Márton, Radnai Bálint, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Stein Ármin, Szakály Marcell, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Umann Péter Andor, Varga-Umbrich Eszter, Vári-Kakas Andor, Velkey Vince. 4 pontot kapott: 43 versenyző. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2016. januári matematika feladatai