Problem B. 4766. (January 2016)

B. 4766. The sequence \(\displaystyle a_{1}, a_{2}, \dots\) is defined by the following recursion: \(\displaystyle a_{1}=1\), \(\displaystyle a_{2}=5\), \(\displaystyle a_{3}=15\), and in the case of \(\displaystyle n\ge 4\), \(\displaystyle a_{n}=n^{2}+a_{n-1}+a_{n-2}-a_{n-3}\).

\(\displaystyle a)\) Calculate the sum \(\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{2015}\).

\(\displaystyle b)\) Prove that \(\displaystyle \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}+ \dots +\frac{1}{a_{2015}}<\frac{4}{3}\).

Proposed by B. Kovács, Szatmárnémeti

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2016.

Statistics:

77 students sent a solution.
5 points:	Andó Angelika, Ardai István Tamás, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bukva Balázs, Busa 423 Máté, Csertán András, Döbröntei Dávid Bence, Dömsödi Bálint, Fajszi Bulcsú, Gál Hanna, Gáspár Attila, Gera Dóra, Glasznova Maja, György Levente, Hansel Soma, Horváth András János, Hraboczki Attila Márton, Imolay András, Jakus Balázs István, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Kosztolányi Kata, Kovács 246 Benedek, Kővári Péter Viktor, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Kartal, Németh 123 Balázs, Pap Tibor, Polgár Márton, Radnai Bálint, Sal Kristóf, Schrettner Bálint, Souly Alexandra, Szemerédi Levente, Tiszay Ádám, Tóth Viktor, Török Zsombor Áron, Vághy Mihály, Vágó Ákos, Váli Benedek, Vankó Miléna, Varga-Umbrich Eszter, Vári-Kakas Andor, Zólomy Kristóf.
4 points:	9 students.
3 points:	5 students.
2 points:	5 students.
1 point:	5 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2016