A B. 4795. feladat (2016. május)

B. 4795. Egy pontosan járó órának a nagy- és kismutatója teljesen egyforma, másodpercmutatója nincs. Hány olyan időpont van egy nap 12 óra után és 24 óra előtt, amikor nem tudjuk egyértelműen leolvasni, hogy mennyi az idő?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(3 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A mutató állása legyen \(\displaystyle t\in [0,1)\), ha a 12 órára mutató félegyenest negatív irányban \(\displaystyle t\cdot 360^\circ\)-kal kell elforgatni, hogy megkapjuk a mutató állását. Tegyük fel, hogy a nagy-, és a kismutató állása rendre \(\displaystyle a\), illetve \(\displaystyle b\). Ekkor a kismutató \(\displaystyle b\) állására \(\displaystyle b=\{12a\}\) teljesül. Pontosan akkor nem lehet eldönteni, hogy melyik mutató melyik, ha \(\displaystyle a=\{12b\}\). A mutatók \(\displaystyle (a,b)\) állása pontosan akkor tartozik egy olyan - 12 óra utáni, de még éjfél előtti - időponthoz, melynél nem tudjuk eldönteni, hogy mennyi az idő, ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) olyan egymástól különböző, 0-nál nagyobb, de 1-nél kisebb számok, amelyekre \(\displaystyle b=\{12a\}\) és \(\displaystyle a=\{12b\}\). Az ilyen időpontokra tehát \(\displaystyle b=\{12a\}\), és ezt felhasználva

\(\displaystyle a=\{12b\}=\{12 \{ 12a \} \}=\{144a\}.\)

Az a kérdés tehát, hogy hány \(\displaystyle a\in(0,1)\) esetén teljesül \(\displaystyle a=\{144a\}\) úgy, hogy \(\displaystyle a\ne \{12a\}\). Pontosan akkor igaz, hogy \(\displaystyle a=\{144a\}\), ha \(\displaystyle \{143a\}=0\), vagyis, ha \(\displaystyle 143a\) egész szám. Ehhez hasonlóan pontosan akkor teljesül, hogy \(\displaystyle a\ne \{12a\}\), ha \(\displaystyle 11a\) nem egész szám. Mivel \(\displaystyle 0<a<1\), ezért \(\displaystyle 143a\) pontosan akkor egész, ha \(\displaystyle a=\frac{c}{143}\) valamilyen \(\displaystyle 1\leq c\leq 142\) egész számra. Ekkor \(\displaystyle 11a=\frac{c}{13}\), így \(\displaystyle c\) értéke bármely \(\displaystyle [1,142]\) intervallumba eső 13-mal nem osztható egész szám lehet (más viszont nem). Ezeknek a feltételeknek \(\displaystyle 142-\left[ \frac{142}{13} \right ]=142-10=132\) darab egész szám tesz eleget.

Tehát dél után és éjfél előtt összesen 132 olyan időpont van, amikor nem tudjuk eldönteni, hogy mennyi az idő.

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Csorba Benjámin, Fajszi Bulcsú, Kovács 246 Benedek, Lakatos Ádám, Nagy Kartal, Solymosi Zsófia, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Várkonyi Dorka, Varsányi András, Weisz Máté.
2 pontot kapott:	Döbröntei Dávid Bence, Fraknói Ádám, Fülöp Anna Tácia, Garamvölgyi István Attila, Klász Viktória, Kuchár Zsolt, Molnár-Sáska Zoltán, Noszály Áron, Páli Petra, Saár Patrik, Schefler Barna, Simon Dániel Gábor, Souly Alexandra, Sudár Ákos, Szakály Marcell, Vághy Mihály, Vári-Kakas Andor, Wiandt Péter.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai