Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4798. feladat (2016. május)

B. 4798. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlója merőleges egymásra, a körülírt kör középpontja \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABK\) és \(\displaystyle CDK\) háromszögek területe egyenlő.

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Az ábra jelölései szerint az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle AMD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle MAD\angle=CAD\angle=\alpha\), \(\displaystyle ADM\angle=ADB\angle=\delta\), és \(\displaystyle \alpha+\delta=90^{\circ}\).

A négyszög köréírt körének középpontja \(\displaystyle K\), így \(\displaystyle AK=BK=CK=DK\).

Az \(\displaystyle AB\) ívhez tartozó kerületi szög \(\displaystyle ADB\angle=\delta\), ezért a hozzá tartozó középponti szög \(\displaystyle AKB\angle=2\delta\).

Hasonlóan a \(\displaystyle CD\) ívhez tartozó kerületi szög \(\displaystyle CAD\angle=\alpha\), ezért a hozzá tartozó középponti szög \(\displaystyle CKD\angle=2\alpha\).

Tehát \(\displaystyle AKB\angle+ CKD\angle=2\delta+2\alpha=2(\alpha+\delta)=180^{\circ}\), vagyis \(\displaystyle 2\alpha=180^{\circ}-2\delta\), és így \(\displaystyle \sin2\alpha=\sin2\delta\).

Így háromszögek területe:

\(\displaystyle T_{ABK}=\frac12 AK\cdot BK\cdot \sin2\delta=\frac12 CK\cdot DK\cdot\sin2\alpha=T_{CDK}.\)


Statisztika:

104 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:101 versenyző.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai