A B. 4798. feladat (2016. május) |
B. 4798. Az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlója merőleges egymásra, a körülírt kör középpontja \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle ABK\) és \(\displaystyle CDK\) háromszögek területe egyenlő.
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az ábra jelölései szerint az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BD\) átlók metszéspontja legyen \(\displaystyle M\). Az \(\displaystyle AMD\) derékszögű háromszögben \(\displaystyle MAD\angle=CAD\angle=\alpha\), \(\displaystyle ADM\angle=ADB\angle=\delta\), és \(\displaystyle \alpha+\delta=90^{\circ}\).
A négyszög köréírt körének középpontja \(\displaystyle K\), így \(\displaystyle AK=BK=CK=DK\).
Az \(\displaystyle AB\) ívhez tartozó kerületi szög \(\displaystyle ADB\angle=\delta\), ezért a hozzá tartozó középponti szög \(\displaystyle AKB\angle=2\delta\).
Hasonlóan a \(\displaystyle CD\) ívhez tartozó kerületi szög \(\displaystyle CAD\angle=\alpha\), ezért a hozzá tartozó középponti szög \(\displaystyle CKD\angle=2\alpha\).
Tehát \(\displaystyle AKB\angle+ CKD\angle=2\delta+2\alpha=2(\alpha+\delta)=180^{\circ}\), vagyis \(\displaystyle 2\alpha=180^{\circ}-2\delta\), és így \(\displaystyle \sin2\alpha=\sin2\delta\).
Így háromszögek területe:
\(\displaystyle T_{ABK}=\frac12 AK\cdot BK\cdot \sin2\delta=\frac12 CK\cdot DK\cdot\sin2\alpha=T_{CDK}.\)
Statisztika:
104 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 101 versenyző. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai