A B. 4801. feladat (2016. május)

B. 4801. Legyen \(\displaystyle f_n\) az alábbi rekurzióval definiált függvények sorozata:

\(\displaystyle f_0(x) = f_1(x) = 1, \mathrm{~és~} n\ge 2 \mathrm{~esetén~}f_n(x) = f_{n-1}(x) \cdot 2\cos(2x) - f_{n-2}(x). \)

Határozzuk meg \(\displaystyle f_n(x)\) függvény \(\displaystyle [0,\pi]\) intervallumba eső zérushelyeinek a számát.

Javasolta: Bodnár Levente (Budapesti Fazekas M. Gyak. Gimn.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen \(\displaystyle g_n(x)=f_n(x)\cos{x}\). Ekkor \(\displaystyle g_0(x)=g_1(x)=\cos x\), és \(\displaystyle n\geq 2\) esetén \(\displaystyle g_n(x)=g_{n-1}(x)\cdot 2\cos(2x)-g_{n-2}(x)\). Először megmutatjuk \(\displaystyle n\) szerinti teljes indukcióval, hogy \(\displaystyle g_n(x)=\cos {((2n-1)x)}\). Ha \(\displaystyle n=0\) vagy \(\displaystyle 1\), akkor az állítás teljesül. Ha \(\displaystyle n\geq 2\), akkor a rekurziót, az indukciós feltevést és a koszinusz addíciós képletét használva:

\(\displaystyle g_n(x)=\cos ((2n-3)x)\cdot 2\cos(2x)-\cos ((2n-5)(x))= \)

\(\displaystyle =\cos ((2n-3)x)\cdot 2\cos(2x)-(\cos ((2n-3)x)\cos(2x)+\sin ((2n-3)x)\sin(2x))=\)

\(\displaystyle =\cos ((2n-3)x)\cdot \cos(2x)-\sin ((2n-3)x)\cdot \sin(2x)=\cos ((2n-3)x+2x)=\cos ((2n-1)x).\)

Ezzel megmutattuk, hogy \(\displaystyle g_n(x)=f_n(x)\cos x=\cos (2n-1)x\). Külön megvizsgáljuk a \(\displaystyle \cos x=0\) és a \(\displaystyle \cos x \ne 0\) eseteket. Tegyük fel először, hogy \(\displaystyle \cos x=0\). Ekkor \(\displaystyle x=k\pi+\pi/2\) valamely \(\displaystyle k\) egész számra. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy \(\displaystyle f_n(k\pi+\pi/2)=(-1)^{n+1} (2n-1)\). Ha \(\displaystyle n=0\), akkor \(\displaystyle f_0(k\pi+\pi/2)=1=(-1)^1\cdot (-1)\), ha pedig \(\displaystyle n=1\), akkor \(\displaystyle f_1(k\pi+\pi/2)=1=(-1)^2\cdot 1\) valóban teljesül. Ha \(\displaystyle n\geq 2\), akkor teljes indukcióval:

\(\displaystyle f_n(k\pi+\pi/2))=f_{n-1}(k\pi +\pi/2)\cdot 2\cos (2k\pi +\pi)-f_{n-2}(k\pi+\pi/2)=\)

\(\displaystyle =(-1)^n (2n-3)(-2)-(-1)^{n-1}(2n-5)=(-1)^{n+1}(2(2n-3)-(2n-5))=\)

\(\displaystyle =(-1)^{n+1}(2n-1).\)

Mindez azt is jelenti, hogy ha \(\displaystyle \cos x=0\), akkor \(\displaystyle f_n(x)\ne 0\), vagyis \(\displaystyle f_n(x)\) pontosan akkor 0, ha \(\displaystyle g_n(x)=0\). (Megjegyezzük, hogy ez az előbbi számolás helyett a Csebisev-polinomok ismert tulajdonságaira hivatkozva is igazolható.) Végül tegyük fel, hogy \(\displaystyle \cos x\ne 0\). Azt kell megvizsgálnunk, mely \(\displaystyle x\in [0,\pi]\) valós számokra teljesül \(\displaystyle \cos ((2n-1)x)=0\) úgy, hogy \(\displaystyle \cos x\ne 0\) . A \(\displaystyle 0\leq x\leq \pi\) feltételt is figyelembe véve \(\displaystyle \cos ((2n-1)x)=0\) pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle (2n-1)x=k\pi+\pi/2\), ahol \(\displaystyle 0\leq k\leq 2n-2\) egész szám. Ebből \(\displaystyle x=\frac{2k+1}{4n-2}\pi\). A \(\displaystyle \cos x\ne 0\) feltétel szerint \(\displaystyle x\ne \pi/2\), ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle k\ne n-1\). Tehát \(\displaystyle f_n(x)\) függvény \(\displaystyle [0,\pi]\) intervallumba eső nullhelyei a \(\displaystyle \frac{2k+1}{4n-2}\pi\) számok, ahol \(\displaystyle 0\leq k\leq 2n-2\), de \(\displaystyle k\ne n-1\). Vagyis \(\displaystyle f_0\)-nak (és \(\displaystyle f_1\)-nek) nincsen nullhelye, ha pedig \(\displaystyle n\geq 1\), akkor az \(\displaystyle f_n\) függvény \(\displaystyle [0,\pi]\)-beli nullhelyek száma \(\displaystyle 2n-2\).

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Fajszi Bulcsú, Gáspár Attila, Horváth András János, Imolay András, Kocsis Júlia, Lajkó Kálmán, Matolcsi Dávid, Németh 123 Balázs, Polgár Márton, Tóth Viktor, Váli Benedek.
4 pontot kapott:	Jakus Balázs István, Kerekes Anna, Nagy Dávid Paszkál.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. májusi matematika feladatai