KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4805. (September 2016)

B. 4805. Solve the simultaneous equations \(\displaystyle x+y+z=2\), \(\displaystyle xyz=2(xy+yz+zx)\) on the set of real numbers.

Proposed by J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on 10 October 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle xyz = 2(xy+yz+zx)=2t\). Mivel

\(\displaystyle (a-x)(a-y)(a-z)=a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz=a^3-2a^2+ta-2t=(a-2)(a^2+t),\)

ezért az \(\displaystyle x,y,z\) valós számok közül az egyik a 2, a másik kettő pedig az \(\displaystyle a^2+t=0\) egyenlet két gyöke. Így \(\displaystyle t\) értéke nem lehet pozitív, a két gyök pedig \(\displaystyle \pm \sqrt{-t}\). Azt kaptuk tehát, hogy a megoldások a \(\displaystyle 2,u,-u\) alakú számhármasok, ahol \(\displaystyle u\) tetszőleges valós szám lehet (és \(\displaystyle x,y,z\) sorrendje is tetszőleges). Ezek a hármasok könnyen ellenőrizhetően valóban megoldást adnak, hiszen

\(\displaystyle x+y+z=2+u+(-u)=2\)

és

\(\displaystyle xyz=2u(-u)=-2u^2=2(2u+2(-u)+u(-u))=2(xy+yz+zx).\)


Statistics:

215 students sent a solution.
4 points:96 students.
3 points:64 students.
2 points:9 students.
1 point:9 students.
0 point:33 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley