Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4805. (September 2016)

B. 4805. Solve the simultaneous equations \(\displaystyle x+y+z=2\), \(\displaystyle xyz=2(xy+yz+zx)\) on the set of real numbers.

Proposed by J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on October 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle xyz = 2(xy+yz+zx)=2t\). Mivel

\(\displaystyle (a-x)(a-y)(a-z)=a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz=a^3-2a^2+ta-2t=(a-2)(a^2+t),\)

ezért az \(\displaystyle x,y,z\) valós számok közül az egyik a 2, a másik kettő pedig az \(\displaystyle a^2+t=0\) egyenlet két gyöke. Így \(\displaystyle t\) értéke nem lehet pozitív, a két gyök pedig \(\displaystyle \pm \sqrt{-t}\). Azt kaptuk tehát, hogy a megoldások a \(\displaystyle 2,u,-u\) alakú számhármasok, ahol \(\displaystyle u\) tetszőleges valós szám lehet (és \(\displaystyle x,y,z\) sorrendje is tetszőleges). Ezek a hármasok könnyen ellenőrizhetően valóban megoldást adnak, hiszen

\(\displaystyle x+y+z=2+u+(-u)=2\)

és

\(\displaystyle xyz=2u(-u)=-2u^2=2(2u+2(-u)+u(-u))=2(xy+yz+zx).\)


Statistics:

215 students sent a solution.
4 points:96 students.
3 points:64 students.
2 points:9 students.
1 point:9 students.
0 point:33 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016