KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4805. Solve the simultaneous equations \(\displaystyle x+y+z=2\), \(\displaystyle xyz=2(xy+yz+zx)\) on the set of real numbers.

Proposed by J. Szoldatics, Budapest

(4 points)

Deadline expired on 10 October 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle xyz = 2(xy+yz+zx)=2t\). Mivel

\(\displaystyle (a-x)(a-y)(a-z)=a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz=a^3-2a^2+ta-2t=(a-2)(a^2+t),\)

ezért az \(\displaystyle x,y,z\) valós számok közül az egyik a 2, a másik kettő pedig az \(\displaystyle a^2+t=0\) egyenlet két gyöke. Így \(\displaystyle t\) értéke nem lehet pozitív, a két gyök pedig \(\displaystyle \pm \sqrt{-t}\). Azt kaptuk tehát, hogy a megoldások a \(\displaystyle 2,u,-u\) alakú számhármasok, ahol \(\displaystyle u\) tetszőleges valós szám lehet (és \(\displaystyle x,y,z\) sorrendje is tetszőleges). Ezek a hármasok könnyen ellenőrizhetően valóban megoldást adnak, hiszen

\(\displaystyle x+y+z=2+u+(-u)=2\)

és

\(\displaystyle xyz=2u(-u)=-2u^2=2(2u+2(-u)+u(-u))=2(xy+yz+zx).\)


Statistics on problem B. 4805.
215 students sent a solution.
4 points:96 students.
3 points:64 students.
2 points:9 students.
1 point:9 students.
0 point:33 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley