KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4809. (September 2016)

B. 4809. Rose colours every point of the number line either blue or red. Violet will perceive a point as purple if however small a neighbourhood of the point is considered, there exist both a red point and a blue point in it. Is it possible that the numbers Violet sees purple

\(\displaystyle a)\) cover the whole number line,

\(\displaystyle b)\) are exactly the integers,

\(\displaystyle c)\) are exactly the rational numbers?

Proposed by B. Maga, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on 10 October 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Ha Piroska a racionális számokat pirosra, az irracionális számokat pedig kékre színezi, akkor Lilla minden valós számot lilának lát, hiszen tetszőleges nemüres nyílt intervallumban található racionális és irracionális szám is. Vagyis előfordulhat, hogy Lilla a teljes számegyenest lilának látja.
b) Megmutatjuk. hogy ha Piroska pontosan azokat a számokat színezi pirosra, amelyek törtrésze egy pozitív egész szám reciproka, akkor Lilla éppen az egész számokat fogja lilának látni. Ha ugyanis \(\displaystyle n\) egy egész szám, akkor mivel az \(\displaystyle n+\frac{1}{k}\) alakú számok pirosak, ezért \(\displaystyle n\)-hez tetszőlegesen közel van piros szám. Ugyanakkor az irracionális számok továbbra is kékek, így \(\displaystyle n\)-hez tetszőlegesen közel található kék szám is. Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\) egy olyan valós szám, ami nem egész. Legyen \(\displaystyle a\) törtrésze \(\displaystyle \alpha\ne 0\). Ha \(\displaystyle a\)-hoz bármilyen közel lenne tőle különböző piros pont, akkor bármilyen kicsi környezetében végtelen sok piros pontnak kellene lennie. Azok a piros pontok, amelyeknek az egészrésze nem \(\displaystyle [a]\), legalább \(\displaystyle \min(\alpha,1-\alpha)\) távolságra vannak \(\displaystyle a\)-tól. Az \(\displaystyle [a]+\frac{1}{k}\) alakú piros pontok közül (vagyis azok közül, amelyek egészrésze \(\displaystyle [a]\)) azok, amelyekre \(\displaystyle k>\frac{2}{\alpha}\), legalább \(\displaystyle \alpha/2\) távolságra vannak \(\displaystyle a\)-tól, hiszen

\(\displaystyle a-\left([a]+\frac{1}{k} \right)=\{a\}-\frac{1}{k}>\alpha-\alpha/2=\alpha/2.\)

Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle a\) számhoz \(\displaystyle \min(\alpha/2,1-\alpha)\)-nál (ami egy pozitív szám) közelebb csak véges sok piros lehet, így \(\displaystyle a\)-t nem látja lilának Lilla. Tehát valóban lehetséges, hogy Lilla pontosan az egész számokat látja lilának.
c) Tegyük fel, hogy Lilla minden racionális számot lilának lát. Megmutatjuk, hogy ilyenkor minden irracionális számot is lilának lát. Legyen \(\displaystyle a\) tetszőleges irracionális szám, \(\displaystyle \varepsilon\) pedig tetszőleges pozitív szám. Azt kell megmutatnunk, hogy az \(\displaystyle (a-\varepsilon,a+\varepsilon)\) intervallumban van (\(\displaystyle a\)-tól különböző) piros szám és (\(\displaystyle a\)-tól különböző) kék szám is. Legyen \(\displaystyle b\) egy racionális szám \(\displaystyle (a+\varepsilon/3,a+2\varepsilon/3)\) intervallumban. Mivel \(\displaystyle b\)-t lilának látja Lilla, ezért van piros és kék szám is \(\displaystyle b\)-től kevesebb, mint \(\displaystyle \varepsilon/3\) távolságra. Ezek olyan (piros, illetve kék színű) pontok, amelyek különböznek \(\displaystyle a\)-tól, de tőle kevesebb, mint \(\displaystyle \varepsilon\) távolságra vannak, és éppen ilyen számok létezését akartuk igazolni. Tehát, ha Lilla minden racionális számot lilának lát, akkor az irracionálisakat is annak látja, így nem fordulhat elő, hogy pontosan a racionálisakat látja lilának.


Statistics:

159 students sent a solution.
5 points:Andó Angelika, Balázs Ákos Miklós, Baran Zsuzsanna, Bindics Boldizsár, Döbröntei Dávid Bence, Gál Hanna, Gáspár Attila, Gergely Patrik, Harsányi Benedek, Hoffmann Balázs, Kerekes Anna, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Krausz Gergely, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Páli Petra, Saár Patrik, Schrettner Bálint, Szemerédi Levente, Tanács Viktória, Tiszay Ádám, Tóth Viktor, Vágó Ákos, Vankó Miléna, Zólomy Kristóf.
4 points:62 students.
3 points:19 students.
2 points:11 students.
1 point:9 students.
0 point:28 students.
Unfair, not evaluated:4 solutions.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley