KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4810. Two angles of triangle \(\displaystyle ABC\) are \(\displaystyle BAC\sphericalangle=15^{\circ}\) and \(\displaystyle ABC\sphericalangle=30^{\circ}\). The perpendicular drawn to side \(\displaystyle AC\) at point \(\displaystyle C\) intersects line segment \(\displaystyle AB\) at \(\displaystyle D\), and the perpendicular bisector of \(\displaystyle AB\) intersects line \(\displaystyle CD\) at \(\displaystyle E\). Extend line segment \(\displaystyle AB\) beyond \(\displaystyle B\) by the length of line segment \(\displaystyle BC\) to get \(\displaystyle G\). Prove that the points \(\displaystyle B\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle C\) lie on a circle of diameter \(\displaystyle \sqrt{2} \cdot AB\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 points)

Deadline expired on 10 October 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Forgassuk el az \(\displaystyle ABC\) háromszöget a \(\displaystyle B\) pont körül negatív irányban \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal. A csúcsok képei rendre \(\displaystyle A_{1}, B, C_{1}\).

Az \(\displaystyle A_{1}C_{1}B\angle\) mellékszöge \(\displaystyle 45^{\circ}\). Az \(\displaystyle ABC\angle=30^{\circ}\) és a forgatás szöge alapján a \(\displaystyle C_{1}B\) szakasz merőleges az \(\displaystyle AB\) egyenesére. Az \(\displaystyle A_1C_1\) egyenes által levágott derékszögű háromszög egyenlő szárú, vagyis az \(\displaystyle A_{1}C_{1}\) egyenes az \(\displaystyle AB\) egyenest a \(\displaystyle G\) pontban metszi. A \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os forgatás és \(\displaystyle ABC\angle=30^{\circ}\) miatt \(\displaystyle CBA_{1}\angle\) szintén \(\displaystyle 30^{\circ}\)-os. Az \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle A_{1}CB\) háromszögek egybevágók, mert két-két oldaluk hossza és a közbezárt szög nagysága megegyezik. A \(\displaystyle BCA_1\angle\) mellékszöge \(\displaystyle 45^{\circ}\), amelyet levonva a \(\displaystyle BCA\angle =135^{\circ}\)-ból látható, hogy az \(\displaystyle A_{1}C\) egyenes merőleges az \(\displaystyle AC\)-re. A forgatás alapján azt is tudjuk, hogy az \(\displaystyle ABA_{1}\) háromszög szabályos. Emiatt az \(\displaystyle AB\) felezőmerőlegese átmegy az \(\displaystyle A_{1}\) ponton. E két utóbbi megállapítás alapján az \(\displaystyle A_{1}C\) egyenes az \(\displaystyle AC\)-re \(\displaystyle C\)-ben állított merőleges, amely a feladat szövegében szereplő \(\displaystyle D\) pontban metszi az \(\displaystyle AB\)-t és \(\displaystyle E\) pontban az \(\displaystyle AB\) felezőmerőlegesét.

Beláttuk, hogy a \(\displaystyle 60^{\circ}\)-kal elforgatott \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle A_{1}\) csúcsa egybeesik az \(\displaystyle E\) ponttal. Innen már néhány lépésben befejezhető a megoldás.

Először beláttuk, hogy \(\displaystyle BGA_{1}\angle \equiv BGE\angle=45^{\circ}\), másrészt az egybevágóságok miatt \(\displaystyle BCA_{1}\angle =135^{\circ}\). Az \(\displaystyle ECBG\) négyszög két szemközti szögének összege \(\displaystyle 180^{\circ}\), a négy pont valóban egy körön van.

Ki kell még számolni a köréírt kör sugarát. Az \(\displaystyle EB\) szakasz a kör húrja. Ehhez a húrhoz tartozó kerületi szög \(\displaystyle BGE\angle =45^{\circ}\). A forgatásnál láttuk, hogy \(\displaystyle EB=AB\), tehát a sinustétel alapján:

\(\displaystyle EB=AB=2R \cdot \sin 45^{\circ},\)

ahonnan az átmérő

\(\displaystyle 2R=\sqrt{2} \cdot AB.\)


Statistics on problem B. 4810.
101 students sent a solution.
5 points:81 students.
4 points:7 students.
3 points:6 students.
2 points:3 students.
1 point:2 students.
0 point:2 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley