KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4811. Prove that

\(\displaystyle \frac1{a_1} + \frac1{[a_1,a_2]} + \frac1{[a_1,a_2,a_3]} + \ldots + \frac1{[a_1,a_2,\ldots,a_n]} < 2, \)

for all integers \(\displaystyle 0<a_1<a_2<\ldots<a_n\), where the symbol \(\displaystyle [\dots]\) stands for the least common multiple.

(6 points)

Deadline expired on 10 October 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Először megmutatjuk, hogy minden \(\displaystyle k\ge2\)-re

\(\displaystyle \frac1{[a_1,\ldots,a_k]} \le \frac1{a_{k-1}}-\frac1{a_k}. \)\(\displaystyle (1) \)

A feltétel szerint \(\displaystyle 0<a_{k-1}<a_k\), így (1) jobboldala biztosan pozitív. Az \(\displaystyle [a_1,\ldots,a_k]\) szám közös többszöröse az \(\displaystyle a_{k-1}\) és \(\displaystyle a_k\) számoknak. Tehát, a kivonást elvégezve, a \(\displaystyle \frac1{a_{k-1}}-\frac1{a_k}\) egy olyan tört, amelynek számlálója legalább \(\displaystyle 1\), nevezője pedig legfeljebb \(\displaystyle [a_1,\ldots,a_k]\). Ez igazolja (1)-et.

A feladat állításában a baloldalon álló tagokra az (1) becslést alkalmazva,

\(\displaystyle \frac1{a_1} + \frac1{[a_1,a_2]} + \frac1{[a_1,a_2,a_3]} + \ldots + \frac1{[a_1,a_2,\ldots,a_n]} \le \)

\(\displaystyle \le \frac1{a_1} +\bigg(\frac1{a_1}-\frac1{a_2}\bigg) +\bigg(\frac1{a_2}-\frac1{a_3}\bigg) +\ldots +\bigg(\frac1{a_{n-1}}-\frac1{a_n}\bigg) = \)

\(\displaystyle = \frac2{a_1} -\frac1{a_n} < 2. \)


Statistics on problem B. 4811.
82 students sent a solution.
6 points:Ardai István Tamás, Bege Áron, Borbényi Márton, Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Gyimesi Péter, Imolay András, Kerekes Anna, Keresztes László, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Kővári Péter Viktor, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Noszály Áron, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Sokvári Olivér, Souly Alexandra, Szabó Kristóf, Szajbély Sámuel, Szemerédi Levente, Tóth Viktor.
5 points:Bereczki Ádám, Egri Máté, Kocsis Júlia, Kőrösi Ákos, Mályusz Attila, Márton Dénes, Póka Lili , Saár Patrik, Tóth 417 Ádám.
4 points:5 students.
3 points:2 students.
2 points:6 students.
1 point:20 students.
0 point:15 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley