Problem B. 4811. (September 2016)
B. 4811. Prove that
\(\displaystyle \frac1{a_1} + \frac1{[a_1,a_2]} + \frac1{[a_1,a_2,a_3]} + \ldots + \frac1{[a_1,a_2,\ldots,a_n]} < 2, \)
for all integers \(\displaystyle 0<a_1<a_2<\ldots<a_n\), where the symbol \(\displaystyle [\dots]\) stands for the least common multiple.
(6 pont)
Deadline expired on October 10, 2016.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először megmutatjuk, hogy minden \(\displaystyle k\ge2\)-re
| \(\displaystyle \frac1{[a_1,\ldots,a_k]} \le \frac1{a_{k-1}}-\frac1{a_k}. \) | \(\displaystyle (1) \) |
A feltétel szerint \(\displaystyle 0<a_{k-1}<a_k\), így (1) jobboldala biztosan pozitív. Az \(\displaystyle [a_1,\ldots,a_k]\) szám közös többszöröse az \(\displaystyle a_{k-1}\) és \(\displaystyle a_k\) számoknak. Tehát, a kivonást elvégezve, a \(\displaystyle \frac1{a_{k-1}}-\frac1{a_k}\) egy olyan tört, amelynek számlálója legalább \(\displaystyle 1\), nevezője pedig legfeljebb \(\displaystyle [a_1,\ldots,a_k]\). Ez igazolja (1)-et.
A feladat állításában a baloldalon álló tagokra az (1) becslést alkalmazva,
\(\displaystyle \frac1{a_1} + \frac1{[a_1,a_2]} + \frac1{[a_1,a_2,a_3]} + \ldots + \frac1{[a_1,a_2,\ldots,a_n]} \le \)
\(\displaystyle \le \frac1{a_1} +\bigg(\frac1{a_1}-\frac1{a_2}\bigg) +\bigg(\frac1{a_2}-\frac1{a_3}\bigg) +\ldots +\bigg(\frac1{a_{n-1}}-\frac1{a_n}\bigg) = \)
\(\displaystyle = \frac2{a_1} -\frac1{a_n} < 2. \)
Statistics:
82 students sent a solution. 6 points: Ardai István Tamás, Bege Áron, Borbényi Márton, Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Gyimesi Péter, Imolay András, Kerekes Anna, Keresztes László, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Kővári Péter Viktor, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Noszály Áron, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Sokvári Olivér, Souly Alexandra, Szabó Kristóf, Szajbély Sámuel, Szemerédi Levente, Tóth Viktor. 5 points: Bereczki Ádám, Egri Máté, Kocsis Júlia, Kőrösi Ákos, Mályusz Attila, Márton Dénes, Póka Lili , Saár Patrik, Tóth 417 Ádám. 4 points: 5 students. 3 points: 2 students. 2 points: 6 students. 1 point: 20 students. 0 point: 15 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016