KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4812. Let \(\displaystyle C_1\), \(\displaystyle A_1\) and \(\displaystyle B_1\) denote the feet of the altitudes drawn to sides \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\) and \(\displaystyle CA\) of an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\), respectively. The perpendicular projections of the orthocentre of triangle \(\displaystyle ABC\) on the lines \(\displaystyle A_1B_1\), \(\displaystyle B_1C_1\), \(\displaystyle C_1A_1\) are \(\displaystyle C_2\), \(\displaystyle A_2\) and \(\displaystyle B_2\), respectively. Prove that the lines  \(\displaystyle AA_2\), \(\displaystyle BB_2\) and \(\displaystyle CC_2\) are concurrent, and their intersection lies on the Euler line of triangle \(\displaystyle ABC\).

Proposed by Sz. Miklós, Herceghalom

(6 points)

Deadline expired on 10 October 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldásvázlat. A Thalész-tétel megfordítása miatt \(\displaystyle BCB_1C_1\) húrnégyszög, amiből a húrnégyszög-tétel többszöri alkalmazásával adódik, hogy \(\displaystyle A_1B_1C_1\angle=180^\circ - 2 \beta\), valamint hogy \(\displaystyle BB_1\) felezi \(\displaystyle A_1B_1C_1\angle\)-t. Hasonló megfontolásokkal kapjuk, hogy \(\displaystyle A_1B_1C_1\triangle\) belső szögei rendre \(\displaystyle 180^\circ - 2 \alpha, 180^\circ - 2 \beta, 180^\circ - 2 \gamma\), beírt körének középpontja pedig \(\displaystyle M\), az \(\displaystyle ABC\triangle\) magasságpontja. Ebből azonnal következik, hogy \(\displaystyle M\) pont az \(\displaystyle A_2B_2C_2\triangle\) körülírt körének középpontja, \(\displaystyle \overline{A_2M}=\overline{B_2M}=\overline{C_2M}\). Ismét a Thalész-tétel megfordítása és a húrnégyszög-tétel miatt \(\displaystyle A_1C_2MB_2\) húrnégyszög, ahonnan \(\displaystyle MB_2C_2\angle=MC_2B_2\angle=90^\circ-\gamma\), és \(\displaystyle C_2B_2A_1\angle=\gamma\). Ebből \(\displaystyle BC\parallel B_2C_2\) adódik, hasonlóan pedig \(\displaystyle AB\parallel A_2B_2\) és \(\displaystyle AC\parallel A_2C_2\).

Legyen \(\displaystyle H=AA_2\cap BB_2\). Az a \(\displaystyle H\) centrumú \(\displaystyle \varphi\) középpontos nagyítás, ami \(\displaystyle A_2B_2\) szakaszt \(\displaystyle AB\)-be viszi, képezze \(\displaystyle C_2\)-t \(\displaystyle C^*\)-ba. Mivel \(\displaystyle ABC\triangle \sim A_2B_2C_2\triangle \sim ABC^*\triangle\), ezért \(\displaystyle ABC\triangle \cong ABC^*\triangle\), amiből \(\displaystyle C=C^*\), és így \(\displaystyle H\in CC_2\). Ezzel az állítás első felét beláttuk.

A \(\displaystyle \varphi\) középpontos nagyítás az \(\displaystyle A_2B_2C_2\triangle\) körülírt körének \(\displaystyle M\) középpontját \(\displaystyle ABC\triangle\) körülírt körének \(\displaystyle O\) középpontjába viszi, így \(\displaystyle H\in OM\), vagyis \(\displaystyle H\) valóban illeszkedik \(\displaystyle ABC\triangle\) Euler-egyenesére.


Statistics on problem B. 4812.
42 students sent a solution.
6 points:Andó Angelika, Barabás Ábel, Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Egri Máté, Garamvölgyi István Attila, Gáspár Attila, Hoffmann Balázs, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Pap Benedek, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Souly Alexandra, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Tóth Viktor, Vankó Miléna, Varga-Umbrich Eszter.
5 points:Győrffy Ágoston, Harsányi Benedek, Keresztfalvi Bálint, Marshall Tamás, Zólomy Kristóf.
4 points:3 students.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, September 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley