Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4813. (October 2016)

B. 4813. Given a prime \(\displaystyle p\), find the integer solutions of the equation

\(\displaystyle \left|\frac{2}{x}-\frac{1}{y}\right|=\frac{1}{p}. \)

(3 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vizsgáljuk meg először a \(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\) esetet. Az egyenletet \(\displaystyle xyp\)-vel beszorozva és rendezve:

\(\displaystyle 0=xy-2yp+xp,\)

amiből mindkét oldalhoz \(\displaystyle -2p^2\)-et adva és a jobb oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle -2p^2=(x-2p)(y+p).\)

A \(\displaystyle 2p^2\) számnak két egész szám szorzataként való előállítására a lehetőségek a következők:

\(\displaystyle -2p^2=1(-2p^2)=-1(2p^2)=2(-p^2)=-2(p^2)=p(-2p)=-p(2p)=\\ =2p(-p)=-2p(p)=p^2(-2)=-p^2(2)=2p^2(-1)=-2p^2(1).\)

Ezek alapján a szóba jövő \(\displaystyle (x;y)\) számpárok listája:

\(\displaystyle (2p+1;-2p^2-p), (2p-1;2p^2-p), (2p+2;-p^2-p), (2p-2; p^2-p), (3p;-3p), (p;p), \\ (4p; -2p), (0;0), (p^2+2p; -p-2), (-p^2+2p;-p+2), (2p^2+2p; -p-1), (-2p^2+2p; -p+1).\)

Ha \(\displaystyle p\) páratlan prímszám, akkor a \(\displaystyle (0;0)\) pár kivételével mindegyik számpár megoldást ad, vagyis a megoldások ebben az esetben:

\(\displaystyle (2p+1;-2p^2-p), (2p-1;2p^2-p), (2p+2;-p^2-p), (2p-2; p^2-p), (3p;-3p), (p;p), \\ (4p; -2p), (p^2+2p; -p-2), (-p^2+2p;-p+2), (2p^2+2p; -p-1), (-2p^2+2p; -p+1).\)

A \(\displaystyle p=2\) esetben a kapott számpárok:

\(\displaystyle (5;-10), (3;6), (6;-6), (2; 2), (6;-6), (2;2), \\ (8; -4), (0;0), (8; -4), (0;0), (12; -3), (-4; -1).\)

Ezek közül a \(\displaystyle (0;0)\) nem megoldás, és bizonyos számpárokat kétszer is megkaptunk, hiszen \(\displaystyle p^2=2p\). A megoldások tehát ebben az esetben:

\(\displaystyle (5;-10), (3;6), (6;-6), (2; 2), (8; -4), (12; -3), (-4; -1).\)

Most pedig vizsgáljuk meg a \(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}=-\frac{1}{p}\) esetet, világos, hogy az itteni megoldások különbözők lesznek az eddig kapottaktól. Az \(\displaystyle (x;y)\) számpárra pontosan akkor teljesül, hogy \(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}=-\frac{1}{p}\), ha a \(\displaystyle (-x;-y)\) számpárra \(\displaystyle \frac{2}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\). Ez azt jelenti, hogy az itteni megoldások úgy kaphatók, hogy az eddig kapott megoldások mindegyikében \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) értékét is \(\displaystyle -1\)-gyel szorozzuk. Páratlan \(\displaystyle p\) prímszám esetén a megoldások:

\(\displaystyle (-2p-1;2p^2+p), (-2p+1;-2p^2+p), (-2p-2;p^2+p), (-2p+2; -p^2+p), (-3p;3p), (-p;-p), \\ (-4p; 2p), (-p^2-2p; p+2), (p^2-2p;p-2), (-2p^2-2p; p+1), (2p^2-2p; p-1).\)

Ha pedig \(\displaystyle p=2\), akkor az itt kapott megoldások:

\(\displaystyle (-5;10), (-3;-6), (-6;6), (-2; -2), (-8; 4), (-12; 3), (4; 1).\)

Ezzel a feladat összes megoldását meghatároztuk.


Statistics:

80 students sent a solution.
3 points:Beke Csongor, Dávid Levente, Deák Bence, Gera Dóra, Geretovszky Anna, Kovács 526 Tamás, Mészáros 916 Márton, Mészáros Anna, Mikulás Zsófia, Nagymihály Panka, Penyige Zita, Póta Balázs, Schefler Barna, Simon Dániel Gábor, Sokvári Olivér, Soós 314 Máté, Szajbély Sámuel, Szakály Marcell, Tiderenczl Dániel, Tubak Dániel, Vágó Ákos, Vári-Kakas Andor, Várkonyi Dorka, Velkey Vince, Weisz Máté.
2 points:Ardai István Tamás, Fajszi Bulcsú, Horváth Péter, Kocsis Anett, Martinák Zalán, Morassi Máté, Paulovics Péter, Richlik Róbert, Riedel Zsuzsanna, Tóth 111 Máté , Török Tímea, Török Zsombor Áron, Varsányi András, Vincze András .
1 point:25 students.
0 point:16 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016