Magyar Information Contest Journal Articles

Problem B. 4814. (October 2016)

B. 4814. Let $\displaystyle P$ be a given point in the interior of a sphere. Consider the pairwise perpendicular planes $\displaystyle S_1$, $\displaystyle S_2$ and $\displaystyle S_3$ that intersect at $\displaystyle P$. Show that the sum of the areas of the circles cut out of the planes by the sphere is independent of the choice of the planes $\displaystyle S_1$, $\displaystyle S_2$ and $\displaystyle S_3$.

(Italian problem)

(4 pont)

Deadline expired on 10 November 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az adott $\displaystyle \mathcal G$ gömb középpontja $\displaystyle O$, sugara $\displaystyle r$, az $\displaystyle O$ pont merőleges vetülete az $\displaystyle S_1, S_2$ és $\displaystyle S_3$ síkokra pedig rendre $\displaystyle X_1, X_2$ és $\displaystyle X_3$. Ekkor a térbeli Pitagorasz-tétel szerint

$\displaystyle \overline{OX_1}^2+\overline{OX_2}^2+\overline{OX_3}^2=\overline{OP}^2.$

Vegyük észre, hogy $\displaystyle \mathcal G \cap S_1$ egy $\displaystyle X_1$ középpontú kör, aminek sugara $\displaystyle r_1=\sqrt{r^2-\overline{OX_1}^2}$, így területe $\displaystyle t_1=r_1^2\pi=(r^2-\overline{OX_1}^2)\pi$.

Innen

$\displaystyle t_1+t_2+t_3=\pi(3r^2-(\overline{OX_1}^2+\overline{OX_2}^2+\overline{OX_3}^2))=\pi(3r^2-\overline{OP}^2),$

ami valóban csak $\displaystyle P$-től és $\displaystyle \mathcal G$-től függ, de független a síkok konkrét választásától.

Statistics:

 89 students sent a solution. 4 points: 87 students. 3 points: 1 student. 0 point: 1 student.

 Our web pages are supported by: Morgan Stanley