KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4815. (October 2016)

B. 4815. The binary operation \(\displaystyle \circ\) is defined on the set of integers. Given that

\(\displaystyle a\circ(b+c)=b\circ a+ c\circ a. \)

for all integers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\), show that there exists an integer \(\displaystyle k\) such that \(\displaystyle a\circ b= k\cdot a \cdot b\) for all \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\).

(Italian problem)

(5 pont)

Deadline expired on 10 November 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 0\circ 0 =0\circ (0+0)=0\circ 0+0\circ 0\), ezért \(\displaystyle 0\circ 0=0\). Mivel

\(\displaystyle 0\circ a=0\circ (a+0)=a\circ 0+0\circ 0=a\circ 0,\)

ezért

\(\displaystyle a\circ 0=a\circ (0+0)=0\circ a+0\circ a=2(0\circ a)=2(a\circ 0)\)

miatt \(\displaystyle a\circ 0=0=0\circ a\) minden \(\displaystyle a\)-ra teljesül. Ekkor viszont \(\displaystyle a\circ b = a\circ (b+0)=b\circ a+0\circ a=b\circ a\) is teljesül tetszőleges \(\displaystyle a,b\) mellett. Legyen \(\displaystyle 1\circ 1=k\). Megmutatjuk, hogy bármely \(\displaystyle a,b\) esetén \(\displaystyle a\circ b=kab\). Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatív egész számok. Az \(\displaystyle a+b\) összeg szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy \(\displaystyle a\circ b=kab\). Ha \(\displaystyle a+b\leq 2\), akkor vagy \(\displaystyle a=b=1\), amikor \(\displaystyle k\) definíciója alapján teljesül az állítás, vagy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyike 0, amikor szintén teljesül az állítás, hiszen ekkor \(\displaystyle a\circ b=kab=0\). Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle a+b=m>2\), és az összes olyan párra, melyre \(\displaystyle a+b<m\) már igazoltuk az állítást. Mivel \(\displaystyle a+b>2\), ezért \(\displaystyle \max(a,b)\geq 2\), a szimmetria miatt feltehető, hogy \(\displaystyle a\leq b\), vagyis ekkor \(\displaystyle b\geq 2\). Az indukciós feltevés szerint

\(\displaystyle a\circ b=a\circ ((b-1)+1)=(b-1)\circ a+1\circ a=k(b-1)a+k\cdot1\cdot a=kab, \)

hiszen \(\displaystyle a+b-1<a+b\) és \(\displaystyle 1+a<a+b\) is teljesül. Ezzel az állítást igazoltuk arra az esetre, amikor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatívak. Mivel

\(\displaystyle 0=a\circ 0=a\circ (b+(-b))=b\circ a+(-b)\circ a,\)

ezért \(\displaystyle a\circ (-b)=-(a\circ b)\), vagyis, ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyikét \(\displaystyle -1\)-gyel szorozzuk, akkor \(\displaystyle a\circ b\) is \(\displaystyle -1\)-szeresére változik. Ebből következik, hogy tetszőleges \(\displaystyle a,b\) egész számokra \(\displaystyle a\circ b=kab\). Ezzel a feladat állítását igazoltuk.


Statistics:

90 students sent a solution.
5 points:Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Krausz Gergely, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Varga-Umbrich Eszter.
4 points:32 students.
3 points:10 students.
2 points:4 students.
1 point:6 students.
0 point:8 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley