Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4815. (October 2016)

B. 4815. The binary operation \(\displaystyle \circ\) is defined on the set of integers. Given that

\(\displaystyle a\circ(b+c)=b\circ a+ c\circ a. \)

for all integers \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) and \(\displaystyle c\), show that there exists an integer \(\displaystyle k\) such that \(\displaystyle a\circ b= k\cdot a \cdot b\) for all \(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\).

(Italian problem)

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 0\circ 0 =0\circ (0+0)=0\circ 0+0\circ 0\), ezért \(\displaystyle 0\circ 0=0\). Mivel

\(\displaystyle 0\circ a=0\circ (a+0)=a\circ 0+0\circ 0=a\circ 0,\)

ezért

\(\displaystyle a\circ 0=a\circ (0+0)=0\circ a+0\circ a=2(0\circ a)=2(a\circ 0)\)

miatt \(\displaystyle a\circ 0=0=0\circ a\) minden \(\displaystyle a\)-ra teljesül. Ekkor viszont \(\displaystyle a\circ b = a\circ (b+0)=b\circ a+0\circ a=b\circ a\) is teljesül tetszőleges \(\displaystyle a,b\) mellett. Legyen \(\displaystyle 1\circ 1=k\). Megmutatjuk, hogy bármely \(\displaystyle a,b\) esetén \(\displaystyle a\circ b=kab\). Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatív egész számok. Az \(\displaystyle a+b\) összeg szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy \(\displaystyle a\circ b=kab\). Ha \(\displaystyle a+b\leq 2\), akkor vagy \(\displaystyle a=b=1\), amikor \(\displaystyle k\) definíciója alapján teljesül az állítás, vagy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyike 0, amikor szintén teljesül az állítás, hiszen ekkor \(\displaystyle a\circ b=kab=0\). Most tegyük fel, hogy \(\displaystyle a+b=m>2\), és az összes olyan párra, melyre \(\displaystyle a+b<m\) már igazoltuk az állítást. Mivel \(\displaystyle a+b>2\), ezért \(\displaystyle \max(a,b)\geq 2\), a szimmetria miatt feltehető, hogy \(\displaystyle a\leq b\), vagyis ekkor \(\displaystyle b\geq 2\). Az indukciós feltevés szerint

\(\displaystyle a\circ b=a\circ ((b-1)+1)=(b-1)\circ a+1\circ a=k(b-1)a+k\cdot1\cdot a=kab, \)

hiszen \(\displaystyle a+b-1<a+b\) és \(\displaystyle 1+a<a+b\) is teljesül. Ezzel az állítást igazoltuk arra az esetre, amikor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) nemnegatívak. Mivel

\(\displaystyle 0=a\circ 0=a\circ (b+(-b))=b\circ a+(-b)\circ a,\)

ezért \(\displaystyle a\circ (-b)=-(a\circ b)\), vagyis, ha \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) valamelyikét \(\displaystyle -1\)-gyel szorozzuk, akkor \(\displaystyle a\circ b\) is \(\displaystyle -1\)-szeresére változik. Ebből következik, hogy tetszőleges \(\displaystyle a,b\) egész számokra \(\displaystyle a\circ b=kab\). Ezzel a feladat állítását igazoltuk.


Statistics:

90 students sent a solution.
5 points:Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Fuisz Gábor, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Krausz Gergely, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Varga-Umbrich Eszter.
4 points:32 students.
3 points:10 students.
2 points:4 students.
1 point:6 students.
0 point:8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016