KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4817. (October 2016)

B. 4817. Solve the following equation in the set of real numbers:

\(\displaystyle x + y + z = xyz = 8,\)

\(\displaystyle \frac 1x- \frac 1y- \frac 1z = \frac 18.\)

Proposed by B. Kovács, Szatmárnémeti

(4 pont)

Deadline expired on 10 November 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A következő átalakítások segítségével a megadott feltételeket használva \(\displaystyle x\) értékére kapunk egy egyenletet:

\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{8}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{y+z}{yz}=\frac{8-x}{\frac{8}{x}}=\frac{8x-x^2}{8}.\)

Ebből (\(\displaystyle 8x\))-szel való szorzás és rendezés után egy harmadfokú egyenletet kapunk:

\(\displaystyle x^3-8x^2-x+8=0.\)

A bal oldalt szorzattá alakítva:

\(\displaystyle (x-8)(x+1)(x-1)=0,\)

vagyis \(\displaystyle x\) értéke \(\displaystyle -1,1\) vagy \(\displaystyle 8\) lehet.

Ha \(\displaystyle x=-1\), akkor \(\displaystyle y+z=9\) és \(\displaystyle yz=-8\), ezért \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) a \(\displaystyle t^2-9t-8\) polinom gyökei: \(\displaystyle \frac{9\pm \sqrt{9^2+4\cdot 8}}{2}=\frac{9\pm \sqrt{113}}{2}\). Az \(\displaystyle (x=-1; y= \frac{9+ \sqrt{113}}{2}; z=\frac{9-\sqrt{113}}{2}), (x=-1; y= \frac{9- \sqrt{113}}{2}; z=\frac{9+\sqrt{113}}{2})\) számhármasok valóban megoldást adnak, hiszen ezekre a harmadik egyenlet is teljesül:

\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}-\frac{y+z}{yz}=-1-\frac{9}{-8}=\frac{1}{8}.\)

Ha \(\displaystyle x=1\), akkor \(\displaystyle y+z=7\) és \(\displaystyle yz=8\), ezért \(\displaystyle y\) és \(\displaystyle z\) a \(\displaystyle t^2-7t+8\) polinom gyökei: \(\displaystyle \frac{7\pm \sqrt{7^2-4\cdot 8}}{2}=\frac{7\pm \sqrt{17}}{2}\). Az \(\displaystyle (x=1; y= \frac{7+ \sqrt{17}}{2}; z=\frac{7-\sqrt{17}}{2}), (x=1; y= \frac{7- \sqrt{17}}{2}; z=\frac{7+ \sqrt{17}}{2})\) számhármasok valóban megoldást adnak, hiszen ezekre a harmadik egyenlet is teljesül:

\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}-\frac{y+z}{yz}=1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8}.\)

Végül, ha \(\displaystyle x=8\) lenne, akkor \(\displaystyle y+z=0\) és \(\displaystyle yz=1\) lenne, azonban ez lehetetlen, hiszen egy nemnegatív és egy nempozitív szám szorzata nem lehet pozitív. Vagyis az egyenletrendszernek csak a korábban talált négy megoldása van.


Statistics:

156 students sent a solution.
4 points:133 students.
3 points:14 students.
2 points:1 student.
1 point:4 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley