Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

# Problem B. 4818. (October 2016)

B. 4818. The intersection of diagonals $\displaystyle AC$ and $\displaystyle BD$ of a cyclic quadrilateral $\displaystyle ABCD$ is $\displaystyle M$. The angle bisectors of the angles $\displaystyle \angle CAD$ and $\displaystyle \angle ACB$ intersect the circumscribed circle of the cyclic quadrilateral $\displaystyle ABCD$ at points $\displaystyle E$ and $\displaystyle F$, respectively. Prove that line $\displaystyle EF$ is perpendicular to the angle bisector of the angle $\displaystyle AMD$.

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje $\displaystyle K_1$ az $\displaystyle ADM$, $\displaystyle K_2$ pedig a $\displaystyle BCM$ háromszög beírt körének középpontját; ekkor a $\displaystyle K_1K_2$ egyenes éppen az $\displaystyle AMD$ szög felezője; ennek az $\displaystyle AD$ és $\displaystyle BC$ oldalakkal való metszéspontja $\displaystyle G$ illetve $\displaystyle H$. Az ábrán $\displaystyle 2\alpha$-val illetve $\displaystyle 2\gamma$-val jelölt szögek a kerületi szögek tétele miatt egyenlők egymással. Továbbá $\displaystyle EK_1K_2\measuredangle = GK_1A\measuredangle = DK_1A\measuredangle /2 = (180^{\circ}-\alpha -\gamma)/2=BK_2C\measuredangle /2 = BK_2H\measuredangle = K_1K_2E\measuredangle$. Így $\displaystyle K_1EK_2$ egyenlő szárú háromszög: $\displaystyle EK_1=EK_2$. Ugyanígy kapjuk, hogy $\displaystyle FK_1=FK_2$, azaz $\displaystyle FK_1EK_2$ deltoid, aminek $\displaystyle EF$ és $\displaystyle K_1K_2$ átlói egymásra merőlegesek.

### Statistics:

 122 students sent a solution. 5 points: 74 students. 4 points: 30 students. 3 points: 7 students. 2 points: 6 students. 1 point: 1 student. 0 point: 4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016