KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

KöMaL Füzetek 1: Tálalási javaslatok matematika felvételire

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4818. The intersection of diagonals \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle BD\) of a cyclic quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) is \(\displaystyle M\). The angle bisectors of the angles \(\displaystyle \angle CAD\) and \(\displaystyle \angle ACB\) intersect the circumscribed circle of the cyclic quadrilateral \(\displaystyle ABCD\) at points \(\displaystyle E\) and \(\displaystyle F\), respectively. Prove that line \(\displaystyle EF\) is perpendicular to the angle bisector of the angle \(\displaystyle AMD\).

Proposed by B. Bíró, Eger

(5 points)

Deadline expired on 10 November 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle K_1\) az \(\displaystyle ADM\), \(\displaystyle K_2\) pedig a \(\displaystyle BCM\) háromszög beírt körének középpontját; ekkor a \(\displaystyle K_1K_2\) egyenes éppen az \(\displaystyle AMD\) szög felezője; ennek az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalakkal való metszéspontja \(\displaystyle G\) illetve \(\displaystyle H\). Az ábrán \(\displaystyle 2\alpha\)-val illetve \(\displaystyle 2\gamma\)-val jelölt szögek a kerületi szögek tétele miatt egyenlők egymással. Továbbá \(\displaystyle EK_1K_2\measuredangle = GK_1A\measuredangle = DK_1A\measuredangle /2 = (180^{\circ}-\alpha -\gamma)/2=BK_2C\measuredangle /2 = BK_2H\measuredangle = K_1K_2E\measuredangle\). Így \(\displaystyle K_1EK_2\) egyenlő szárú háromszög: \(\displaystyle EK_1=EK_2\). Ugyanígy kapjuk, hogy \(\displaystyle FK_1=FK_2\), azaz \(\displaystyle FK_1EK_2\) deltoid, aminek \(\displaystyle EF\) és \(\displaystyle K_1K_2\) átlói egymásra merőlegesek.


Statistics on problem B. 4818.
122 students sent a solution.
5 points:74 students.
4 points:30 students.
3 points:7 students.
2 points:6 students.
1 point:1 student.
0 point:4 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley