KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4819. (October 2016)

B. 4819. Prove that if \(\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}\), then

\(\displaystyle {(\tg x)}^{\sin x}+ {(\ctg x)}^{\cos x}\ge 2. \)

For what values of \(\displaystyle x\) does the equality hold?

(Kvant)

(5 pont)

Deadline expired on 10 November 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle 0<x<\pi/4\), akkor \(\displaystyle \sin x<\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos x\) és \(\displaystyle \tg x<1<\ctg x\), ezért

\(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}>(\tg x)^{\sqrt{2}/2}+(\ctg x)^{\sqrt{2}/2}\geq 2,\)

ahol az első egyenlőtlenség az exponenciális függvény monotonitása, a második pedig a számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség alapján teljesül. Ha \(\displaystyle \pi/4<x<\pi/2\), akkor \(\displaystyle \sin x>\frac{\sqrt{2}}{2}>\cos x\) és \(\displaystyle \tg x>1>\ctg x\), amiből az előzőekhez teljesen hasonlóan következik, hogy \(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}> 2\). Végül, ha \(\displaystyle x=\pi/4\), akkor \(\displaystyle \tg x=\ctg x=1\), és így \(\displaystyle (\tg x)^{\sin x}+(\ctg x)^{\cos x}= 2\). Ezzel az egyenlőtlenséget igazoltuk, és azt is megmutattuk, hogy pontosan \(\displaystyle x=\pi/4\) esetén teljesül egyenlőség.


Statistics:

113 students sent a solution.
5 points:90 students.
4 points:10 students.
3 points:4 students.
2 points:2 students.
1 point:2 students.
0 point:5 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley