Problem B. 4821. (October 2016)

B. 4821. Does there exist an integer \(\displaystyle a\ge 1\) such that \(\displaystyle x^2+3\) and \(\displaystyle {(x+a)}^2+3\) are relatively primes for all positive integers \(\displaystyle x\)?

Proposed by D. Kovács

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az a kérdés, hogy létezik-e olyan \(\displaystyle a\) pozitív egész szám, hogy minden \(\displaystyle x\) egész számra \(\displaystyle (x^2+3;(x+a)^2+3)=1\). Egy ilyen \(\displaystyle a\) szám biztosan nem lehet páros, hiszen páros \(\displaystyle a\) és páratlan \(\displaystyle x\) esetén \(\displaystyle x^2+3\) és \(\displaystyle (x+a)^2+3\) is páros. A továbbiakban tegyük fel, hogy \(\displaystyle a\) páratlan. Az \(\displaystyle x^2+3\) és \(\displaystyle (x+a)^2+3\) számok pontosan akkor relatív prímek, ha egyetlen \(\displaystyle p\) prímszámra sem teljesül \(\displaystyle p|x^2+3\) és \(\displaystyle p|(x+a)^2+3\) egyszerre. Ha \(\displaystyle p|x^2+3\) és \(\displaystyle p|(x+a)^2+3\), akkor \(\displaystyle p|(x+a)^2+3-(x^2+3)=2ax+a^2=a(2x+a)\). Próbáljuk úgy megválasztani \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle x\) értékét, hogy \(\displaystyle p|2x+a\). Ekkor

\(\displaystyle 2x\equiv -a\pmod{p},\)

és így

\(\displaystyle 4(x^2+3)\equiv a^2+12\pmod{p}.\)

Mivel \(\displaystyle p|x^2+3\), ezért ez csak akkor teljesülhet, ha \(\displaystyle p|a^2+12\).

Legyen tehát \(\displaystyle p\) az \(\displaystyle a^2+12\geq 13\) szám egy tetszőleges prímosztója. Mivel \(\displaystyle a\) páratlan, ezért a \(\displaystyle p\) prímszám is páratlan. A korábbiak alapján válasszuk meg \(\displaystyle x\) értékét úgy, hogy \(\displaystyle 2x\equiv -a \pmod {p}\) teljesüljön. Mivel \(\displaystyle p\) páratlan, ezért ilyen \(\displaystyle x\) létezik (a \(\displaystyle \frac{p-a}{2}+kp\) alakú számok közül bármelyik pozitív megfelelő). Erre az \(\displaystyle x\)-re \(\displaystyle 2x+2a\equiv a\pmod {p}\), így a kongruenciák négyzetre emelése után azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle 4x^2\equiv 4(x+a)^2\equiv a^2\pmod {p},\)

amiből

\(\displaystyle 4(x^2+3)\equiv 4((x+a)^2+3)\equiv a^2+12\equiv 0\pmod {p},\)

vagyis \(\displaystyle (x^2+3,(x+a)^2+3)\) osztható \(\displaystyle p\)-vel. Ez azt jelenti, hogy nem létezik olyan \(\displaystyle a\) pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle x^2+3\) és \(\displaystyle (x+a)^2+3\) mindig relatív prímek.

Statistics:

49 students sent a solution.
6 points:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Kővári Péter Viktor, Matolcsi Dávid, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Nándor, Olosz Adél, Pap Benedek, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó Kristóf, Szemerédi Levente, Tiderenczl Dániel, Tóth Viktor, Weisz Máté.
5 points:	Andó Angelika, Ardai István Tamás, Egri Máté, Győrffy Ágoston, Keresztes László, Kőrösi Ákos, Németh 123 Balázs, Póta Balázs, Sokvári Olivér, Souly Alexandra, Szakály Marcell, Vankó Miléna, Vári-Kakas Andor.
4 points:	3 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	5 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2016