KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4822. (November 2016)

B. 4822. Find all natural numbers \(\displaystyle p\) for which the equation \(\displaystyle x^2+(p+2015)x +2016p+1=0\) has an integer solution.

Proposed by T. Jakab, Sepsiszentgyörgy

(3 pont)

Deadline expired on 12 December 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A másodfokú egyenlet megoldásai:

\(\displaystyle x_{1,2}=\frac{-p-2015\pm \sqrt{(p+2015)^2-4(2016p+1)}}{2}.\)

A két gyök összege egész szám, így vagy mindkettő egész, vagy egyikük sem. Pontosan akkor egészek, ha az egyenlet diszkriminánsa egy nemnegatív egész szám négyzete. Ugyanis, ha ez nem teljesül, akkor az egyenletnek vagy nincsen valós megoldása, vagy a megoldások irracionálisak. Ha viszont teljesül, akkor egészek a gyökök, hiszen a diszkrimináns paritása megegyezik \(\displaystyle p+2015\) paritásával, és így a számláló páros.

Tehát azt kell meghatároznunk, hogy a diszkrimináns, vagyis \(\displaystyle (p+2015)^2-4(2016p+1)=(p-2017)^2-8068\) mikor lesz négyzetszám:

\(\displaystyle (p-2017)^2-8068=q^2,\)

ahol \(\displaystyle q\) nemnegatív egész szám. Az egyenletet átrendezve és szorzattá alakítva:

\(\displaystyle (p+q-2017)(p-q-2017)=4\cdot 2017.\)

A bal oldalon található szorzat mindkét tényezője egész szám, melyek paritása megegyezik, így mindkettőnek párosnak kell lennie. Mivel 2017 prímszám, ezért a szorzattá alakításra az alábbi lehetőségeket kapjuk (\(\displaystyle q\geq0\)-t is figyelembe véve):

\(\displaystyle 4034\cdot 2, (-2)\cdot (-4034).\)

A \(\displaystyle p=\frac{(p+q-2017)+(p-q-2017)}{2}+2017\) összefüggést használva \(\displaystyle p\) értékére rendre a \(\displaystyle 4035\), illetve a \(\displaystyle -1\) értéket kapjuk. Mivel \(\displaystyle p\) természetes szám, ezért csak \(\displaystyle p=4035\) lehet, ekkor \(\displaystyle (p-2017)^2-8068=2016^2\), tehát valóban négyzetszám a diszkrimináns.

Tehát az egyetlen, a feltételeknek megfelelő választás: \(\displaystyle p=4035\).


Statistics:

144 students sent a solution.
3 points:100 students.
2 points:17 students.
1 point:23 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:1 solution.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley