KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4823. In an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\) (\(\displaystyle AB < AC\)), the foot of the altitude from vertex \(\displaystyle A\) is \(\displaystyle D\), and the centre of the circumscribed circle is \(\displaystyle O\). Prove that if the exterior angle bisector of \(\displaystyle BAC\sphericalangle\) is parallel to \(\displaystyle OD\), then the diagonals of the quadrilateral \(\displaystyle AODC\) are equal.

Hungarian Mathematics Competition of Transsylvania

(3 points)

Deadline expired on 12 December 2016.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Azt kell igazolnunk, hogy \(\displaystyle AD=OC\).

Legyen \(\displaystyle M\) a \(\displaystyle BAC\) körív felezőpontja; jól ismert, hogy a \(\displaystyle BAC\) szög külső szögfelezője átmegy az \(\displaystyle M\) ponton. (Például a kerületi szögek tételéből \(\displaystyle MAC\sphericalangle = MBC\sphericalangle = 90^\circ- BMO\angle = 90^\circ-\frac12 BMC\angle = 90^\circ-\frac12 BAC\angle = 90^\circ-\frac12 \alpha = \frac{180^\circ-\alpha}2\).)

Az \(\displaystyle OM\) és \(\displaystyle OC\) szakaszok a körülírt kör sugarai, így \(\displaystyle OM=OC\).

Az \(\displaystyle M\) és az \(\displaystyle O\) pont is egyenlő távol van a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontoktól, így az \(\displaystyle MO\) egyenes a \(\displaystyle BC\) szakasz felező merőlegese. Ezért \(\displaystyle MO\) merőleges a háromszög \(\displaystyle BC\) oldalára, tehát párhuzamos az \(\displaystyle AD\) magassággal. A feladat feltétele szerint az \(\displaystyle AM\) külső szögfelező és \(\displaystyle DO\) is párhuzamosak. Az \(\displaystyle ADOM\) négyszögben tehát a szemközti oldalak párhuzamosak, a négyszög egy paralelogramma. A paralelogramma szemközti oldalai egyenlők, ezért \(\displaystyle AD=OM\).

Összefoglalva, \(\displaystyle AD = OM = OC\).


Statistics on problem B. 4823.
106 students sent a solution.
3 points:64 students.
2 points:33 students.
1 point:8 students.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley