Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4824. (November 2016)

B. 4824. Let \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) be real numbers for which \(\displaystyle xy=1\). Determine the largest and smallest values of the expression

\(\displaystyle K=\frac{{(x+y)}^2-(x-y)-2}{{(x+y)}^2+(x-y)-2}. \)

Proposed by J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle t=x-y\). Bármilyen valós \(\displaystyle t\) esetén léteznek olyan \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valós számok, amelyekre \(\displaystyle t=x-y\) és \(\displaystyle 1=xy\), hiszen az \(\displaystyle 1=x(x-t)\) egyenlet egy olyan, \(\displaystyle x\)-ben másodfokú egyenlet: \(\displaystyle x^2-tx-1=0\), amelynek diszkriminánsa, (\(\displaystyle t^2+4\)) pozitív. Az \(\displaystyle (x+y)^2=(x-y)^2+4xy=t^2+4\) összefüggés segítségével \(\displaystyle K\)-ra a következőket kapjuk:

\(\displaystyle \frac{(x+y)^2-(x-y)-2}{(x+y)^2+(x-y)-2}=\frac{t^2-t+2}{t^2+t+2}=:K(t).\)

Azt kell tehát meghatároznunk, hogy mi \(\displaystyle K(t)\) lehetséges legkisebb és legnagyobb értéke, ha \(\displaystyle t\) valós szám. Ha \(\displaystyle t=0\), akkor \(\displaystyle K(0)=1\). A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle t\ne 0\). Ekkor \(\displaystyle K(t)=1-\frac{2t}{t^2+t+2}=1-\frac{2}{1+t+\frac{2}{t}}\). Ha \(\displaystyle t>0\), akkor \(\displaystyle K(t)<1\), és a lehetséges legkisebb értéket akkor kapjuk, ha \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) minimális. A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\geq 2\sqrt{2}\) és egyenlőség \(\displaystyle t=\frac{2}{t}=\sqrt{2}\)-re teljesül, vagyis \(\displaystyle t>0\) esetén \(\displaystyle K(t)\) lehetséges legkisebb értéke \(\displaystyle K(\sqrt{2})=1-\frac{2}{1+2\sqrt{2}}=\frac{9-4\sqrt{2}}{7}\). Ha pedig \(\displaystyle t<0\), akkor a \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) negatív szám abszolút értéke az előzőekhez hasonlóan legalább \(\displaystyle 2\sqrt{2}\) (egyenlőség \(\displaystyle t=-\sqrt{2}\) esetén áll fenn). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle K(t)>1\), és a legnagyobb értéket akkor kapjuk, amikor \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) abszolút értéke minimális, azaz \(\displaystyle t+\frac{2}{t}=-2\sqrt{2}\). Vagyis a kifejezés maximuma \(\displaystyle K(-\sqrt{2})=1-\frac{2}{1-2\sqrt{2}}=\frac{9+4\sqrt{2}}{7}\).

A különböző esetekben kapott eredményeket összegezve a kifejezés lehetséges legkisebb értéke tehát \(\displaystyle \frac{9-4\sqrt{2}}{7}\), a legnagyobb pedig \(\displaystyle \frac{9+4\sqrt{2}}{7}\).


Statistics:

113 students sent a solution.
4 points:74 students.
3 points:16 students.
2 points:6 students.
1 point:6 students.
0 point:11 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016