KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4824. (November 2016)

B. 4824. Let \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) be real numbers for which \(\displaystyle xy=1\). Determine the largest and smallest values of the expression

\(\displaystyle K=\frac{{(x+y)}^2-(x-y)-2}{{(x+y)}^2+(x-y)-2}. \)

Proposed by J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on 12 December 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle t=x-y\). Bármilyen valós \(\displaystyle t\) esetén léteznek olyan \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) valós számok, amelyekre \(\displaystyle t=x-y\) és \(\displaystyle 1=xy\), hiszen az \(\displaystyle 1=x(x-t)\) egyenlet egy olyan, \(\displaystyle x\)-ben másodfokú egyenlet: \(\displaystyle x^2-tx-1=0\), amelynek diszkriminánsa, (\(\displaystyle t^2+4\)) pozitív. Az \(\displaystyle (x+y)^2=(x-y)^2+4xy=t^2+4\) összefüggés segítségével \(\displaystyle K\)-ra a következőket kapjuk:

\(\displaystyle \frac{(x+y)^2-(x-y)-2}{(x+y)^2+(x-y)-2}=\frac{t^2-t+2}{t^2+t+2}=:K(t).\)

Azt kell tehát meghatároznunk, hogy mi \(\displaystyle K(t)\) lehetséges legkisebb és legnagyobb értéke, ha \(\displaystyle t\) valós szám. Ha \(\displaystyle t=0\), akkor \(\displaystyle K(0)=1\). A továbbiakban feltesszük, hogy \(\displaystyle t\ne 0\). Ekkor \(\displaystyle K(t)=1-\frac{2t}{t^2+t+2}=1-\frac{2}{1+t+\frac{2}{t}}\). Ha \(\displaystyle t>0\), akkor \(\displaystyle K(t)<1\), és a lehetséges legkisebb értéket akkor kapjuk, ha \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) minimális. A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\geq 2\sqrt{2}\) és egyenlőség \(\displaystyle t=\frac{2}{t}=\sqrt{2}\)-re teljesül, vagyis \(\displaystyle t>0\) esetén \(\displaystyle K(t)\) lehetséges legkisebb értéke \(\displaystyle K(\sqrt{2})=1-\frac{2}{1+2\sqrt{2}}=\frac{9-4\sqrt{2}}{7}\). Ha pedig \(\displaystyle t<0\), akkor a \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) negatív szám abszolút értéke az előzőekhez hasonlóan legalább \(\displaystyle 2\sqrt{2}\) (egyenlőség \(\displaystyle t=-\sqrt{2}\) esetén áll fenn). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle K(t)>1\), és a legnagyobb értéket akkor kapjuk, amikor \(\displaystyle t+\frac{2}{t}\) abszolút értéke minimális, azaz \(\displaystyle t+\frac{2}{t}=-2\sqrt{2}\). Vagyis a kifejezés maximuma \(\displaystyle K(-\sqrt{2})=1-\frac{2}{1-2\sqrt{2}}=\frac{9+4\sqrt{2}}{7}\).

A különböző esetekben kapott eredményeket összegezve a kifejezés lehetséges legkisebb értéke tehát \(\displaystyle \frac{9-4\sqrt{2}}{7}\), a legnagyobb pedig \(\displaystyle \frac{9+4\sqrt{2}}{7}\).


Statistics:

113 students sent a solution.
4 points:74 students.
3 points:16 students.
2 points:6 students.
1 point:6 students.
0 point:11 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley