Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
 Already signed up? New to KöMaL?

Problem B. 4826. (November 2016)

B. 4826. The circles $\displaystyle a$ and $\displaystyle b$ intersect at two distinct points $\displaystyle P$ and $\displaystyle Q$. Suppose that $\displaystyle A_0$ is a point that lies on circle $\displaystyle a$. Define the points $\displaystyle B_0$, $\displaystyle A_1$, $\displaystyle B_1$, $\displaystyle A_2$ etc., respectively, as follows: $\displaystyle B_i$ is the intersection of line $\displaystyle A_iP$ with $\displaystyle b$, and then $\displaystyle A_{i+1}$ is the intersection of line $\displaystyle B_iQ$ with $\displaystyle a$. (If $\displaystyle A_i = P$ then line $\displaystyle A_iP$ means the tangent of circle $\displaystyle a$ at $\displaystyle P$, and if $\displaystyle B_i = Q$ then line $\displaystyle B_iQ$ means the tangent of circle $\displaystyle b$ at $\displaystyle Q$.) Show that if there exists an $\displaystyle A_n$ ($\displaystyle n\ge 2$) for which $\displaystyle A_0$ and $\displaystyle A_n$ coincide, then this holds for any point $\displaystyle A_0$ of circle $\displaystyle a$.

Proposed by K. Williams, Szeged

(4 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. $\displaystyle A_iPA_i'\sphericalangle = B_iPB_i'\sphericalangle$ és $\displaystyle A_{i+1}QA_{i+1}'\sphericalangle = B_iQB_i'\sphericalangle$ csúcsszögek, továbbá a kerületi szögek tétele szerint $\displaystyle B_iQB_i'\sphericalangle = B_iPB_i'\sphericalangle$; így $\displaystyle A_{i+1}QA_{i+1}'\sphericalangle = A_iPA_i'\sphericalangle$. (Hasonló jellegű összefüggések állapíthatók meg a pontok más kölcsönös elhelyezkedése esetén is.) A kerületi szögek tételének megfordításával a megfelelő körívek irányított hosszára $\displaystyle \overset{\curvearrowright}{A_iA_i'} = \overset{\curvearrowright}{A_{i+1}A_{i+1}'}$, ezért

$\displaystyle \overset{\curvearrowright}{A_iA_{i+1}} = \overset{\curvearrowright}{A_iA_i'} + \overset{\curvearrowright}{A_i'A_{i+1}} = \overset{\curvearrowright}{A_i'A_{i+1}} + \overset{\curvearrowright}{A_{i+1}A_{i+1}'} = \overset{\curvearrowright}{A_i'A_{i+1}'}\,,$

amiből már egyszerűen következik a feladat állítása .

Statistics:

 57 students sent a solution. 4 points: Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Csertán András, Döbröntei Dávid Bence, Fraknói Ádám, Fülöp Anna Tácia, Gáspár Attila, Geretovszky Anna, Győrffy Ágoston, Hansel Soma, Imolay András, Karácsony Márton, Kerekes Anna, Keresztfalvi Bálint, Klász Viktória, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kőrösi Ákos, Kővári Péter Viktor, Lakatos Ádám, Marshall Tamás, Martinák Zalán, Nagy Dávid Paszkál, Nagy Nándor, Pap Benedek, Schrettner Bálint, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Soós 314 Máté, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Tiderenczl Dániel, Tóth 827 Balázs, Tran 444 Ádám, Vankó Miléna, Vári-Kakas Andor, Velkey Vince, Weisz Máté. 3 points: Hoffmann Balázs, Márton Dénes, Mazug Péter, Olosz Adél, Tanács Viktória, Tóth Viktor, Tubak Dániel, Zsigri Bálint. 2 points: 6 students. 1 point: 2 students. 0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016