KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4828. (November 2016)

B. 4828. Let \(\displaystyle 0<x_1<x_2<\ldots<x_n<2\pi\). Show that

\(\displaystyle \sum_{i,j=1;\; i\ne j}^n \frac{1}{|x_i-x_j|}+\frac{1}{2\pi-|x_i-x_j|}\ge \frac{n^2}{\pi}\sum_{k=1}^{n-1} \frac 1k. \)

On what condition will the equality hold?

(6 pont)

Deadline expired on 12 December 2016.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyünk fel egy egységsugarú körön \(\displaystyle n\) pontot úgy, hogy azok a körvonal egy rögzített pontjától (pozitív körüljárás szerint) rendre \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) távolságra legyenek. A körvonalat ezek a pontok \(\displaystyle n\) ívre osztják fel, melyek hossza legyen sorrendben: \(\displaystyle l_1,l_2,\dots,l_n\). Vezessük be az \(\displaystyle l_{n+i}=l_i\) jelölést (\(\displaystyle 1\leq i\leq n-2\)). A bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kifejezés a következő módon is írható:

\(\displaystyle 2\sum\limits_{a=1}^{n-1}\sum\limits_{b=1}^n \frac{1}{l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}}.\)

Az \(\displaystyle l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}\) számokra (\(\displaystyle 1\leq b\leq n\)) alkalmazva a számtani és a harmonikus közepek közötti egyenlőtlenséget a következő becslést kapjuk:

\(\displaystyle \sum\limits_{b=1}^n \frac{1}{l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}}\geq \frac{n^2}{ \sum\limits_{b=1}^n (l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}) } =\frac{n^2}{2\pi a}. \)

A kapott becslést \(\displaystyle 1\leq a\leq n-1\)-re összegezve éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.


Statistics:

29 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Klász Viktória, Kővári Péter Viktor, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szemerédi Levente, Tóth Viktor.
5 points:Csertán András, Szabó Kristóf.
4 points:1 student.
0 point:3 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley