Problem B. 4828. (November 2016)

B. 4828. Let \(\displaystyle 0<x_1<x_2<\ldots<x_n<2\pi\). Show that

\(\displaystyle \sum_{i,j=1;\; i\ne j}^n \frac{1}{|x_i-x_j|}+\frac{1}{2\pi-|x_i-x_j|}\ge \frac{n^2}{\pi}\sum_{k=1}^{n-1} \frac 1k. \)

On what condition will the equality hold?

(6 pont)

Deadline expired on December 12, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyünk fel egy egységsugarú körön \(\displaystyle n\) pontot úgy, hogy azok a körvonal egy rögzített pontjától (pozitív körüljárás szerint) rendre \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) távolságra legyenek. A körvonalat ezek a pontok \(\displaystyle n\) ívre osztják fel, melyek hossza legyen sorrendben: \(\displaystyle l_1,l_2,\dots,l_n\). Vezessük be az \(\displaystyle l_{n+i}=l_i\) jelölést (\(\displaystyle 1\leq i\leq n-2\)). A bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kifejezés a következő módon is írható:

\(\displaystyle 2\sum\limits_{a=1}^{n-1}\sum\limits_{b=1}^n \frac{1}{l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}}.\)

Az \(\displaystyle l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}\) számokra (\(\displaystyle 1\leq b\leq n\)) alkalmazva a számtani és a harmonikus közepek közötti egyenlőtlenséget a következő becslést kapjuk:

\(\displaystyle \sum\limits_{b=1}^n \frac{1}{l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}}\geq \frac{n^2}{ \sum\limits_{b=1}^n (l_b+l_{b+1}+\dots+l_{b+a-1}) } =\frac{n^2}{2\pi a}. \)

A kapott becslést \(\displaystyle 1\leq a\leq n-1\)-re összegezve éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.

Statistics:

29 students sent a solution.
6 points:	Baran Zsuzsanna, Bodolai Előd, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Klász Viktória, Kővári Péter Viktor, Matolcsi Dávid, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szemerédi Levente, Tóth Viktor.
5 points:	Csertán András, Szabó Kristóf.
4 points:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2016