KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4831. We have a ,,pocket calculator'' that can only be used for addition, subtraction and taking the reciprocal of a number. Starting with the number \(\displaystyle \sqrt{20}+16\), is it possible to get 1 as a result? (During the calculation, we can store the original number, as well as any intermediate result in separate memory caches, and we may access them as many times as we wish.)

(Proposed by S. Kiss, Nyíregyháza)

(3 points)

Deadline expired on 10 January 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Megmutatjuk, hogy igen. Legyen \(\displaystyle a=\sqrt{20}+16\). Ki tudjuk számolni ennek reciprokát is, amelynek nevezőjét gyöktelenítve a következőket kapjuk:

\(\displaystyle b:=\frac{1}{\sqrt{20}+16}=\frac{16-\sqrt{20}}{(16+\sqrt{20})(16-\sqrt{20})}=\frac{16-\sqrt{20}}{236}.\)

Ezután sorra kiszámolhatjuk \(\displaystyle b+b,(b+b)+b, \dots\) értékét, egészen addig, amíg – 235 darab összeadás után – eljutunk \(\displaystyle c:=236b= 16-\sqrt{20}\)-ig. Most adjuk össze \(\displaystyle a\)-t és \(\displaystyle c\)-t:

\(\displaystyle d:=a+c=\sqrt{20}+16+16-\sqrt{20}=32.\)

Most \(\displaystyle d\) reciprokát véve megkapjuk \(\displaystyle e=1/32\)-et, majd sorra kiszámolva az \(\displaystyle e+e, (e+e)+e,\dots \) értékeket 31 újabb összeadás után eljutunk a \(\displaystyle 32e=1\) számhoz. (Ha \(\displaystyle e+e\) kiszámítása után \(\displaystyle (e+e)+(e+e)=4e\), majd sorra \(\displaystyle 8e=4e+4e, 16e=8e+8e,32e=16e+16e\) kiszámításával folytatjuk, akkor 5 összeadás is elég. Ugyanezen az elven \(\displaystyle c=236b\) is gyorsabban megkapható \(\displaystyle b\)-ből.) Ezzel megmutattuk, hogy valóban megkaphatjuk az 1-et.

Megjegyzés. Kivonást nem használtunk.


Statistics on problem B. 4831.
104 students sent a solution.
3 points:86 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:10 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley