Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4831. (December 2016)

B. 4831. We have a ,,pocket calculator'' that can only be used for addition, subtraction and taking the reciprocal of a number. Starting with the number \(\displaystyle \sqrt{20}+16\), is it possible to get 1 as a result? (During the calculation, we can store the original number, as well as any intermediate result in separate memory caches, and we may access them as many times as we wish.)

(Proposed by S. Kiss, Nyíregyháza)

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Megmutatjuk, hogy igen. Legyen \(\displaystyle a=\sqrt{20}+16\). Ki tudjuk számolni ennek reciprokát is, amelynek nevezőjét gyöktelenítve a következőket kapjuk:

\(\displaystyle b:=\frac{1}{\sqrt{20}+16}=\frac{16-\sqrt{20}}{(16+\sqrt{20})(16-\sqrt{20})}=\frac{16-\sqrt{20}}{236}.\)

Ezután sorra kiszámolhatjuk \(\displaystyle b+b,(b+b)+b, \dots\) értékét, egészen addig, amíg – 235 darab összeadás után – eljutunk \(\displaystyle c:=236b= 16-\sqrt{20}\)-ig. Most adjuk össze \(\displaystyle a\)-t és \(\displaystyle c\)-t:

\(\displaystyle d:=a+c=\sqrt{20}+16+16-\sqrt{20}=32.\)

Most \(\displaystyle d\) reciprokát véve megkapjuk \(\displaystyle e=1/32\)-et, majd sorra kiszámolva az \(\displaystyle e+e, (e+e)+e,\dots \) értékeket 31 újabb összeadás után eljutunk a \(\displaystyle 32e=1\) számhoz. (Ha \(\displaystyle e+e\) kiszámítása után \(\displaystyle (e+e)+(e+e)=4e\), majd sorra \(\displaystyle 8e=4e+4e, 16e=8e+8e,32e=16e+16e\) kiszámításával folytatjuk, akkor 5 összeadás is elég. Ugyanezen az elven \(\displaystyle c=236b\) is gyorsabban megkapható \(\displaystyle b\)-ből.) Ezzel megmutattuk, hogy valóban megkaphatjuk az 1-et.

Megjegyzés. Kivonást nem használtunk.


104 students sent a solution.
3 points:86 students.
2 points:6 students.
1 point:2 students.
0 point:10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016