KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4833. For a sector of a circle of radius \(\displaystyle R\), smaller than a semicircle, the radius of the inscribed circle is \(\displaystyle r\), and the length of the chord connecting the endpoints of the boundary arc of the sector is \(\displaystyle 2a\). Prove that

\(\displaystyle \frac 1r= \frac 1R+ \frac 1a. \)

(3 points)

Deadline expired on 10 January 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen a körív középpontja \(\displaystyle K\), az ív két végpontja \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), az ív felezőpontja \(\displaystyle F\), a beírt kör középpontja az \(\displaystyle O\) pont, s végül a beírt kör érintési pontja a \(\displaystyle BK\) sugáron az \(\displaystyle E\) pont.

A \(\displaystyle BFK\) és \(\displaystyle OEK\) derékszögű háromszögek hasonlók, mert egyik hegyesszögük egybeeesik. Írjuk fel a megfelelő oldalak arányának egyenlőségét:

\(\displaystyle \frac{OE}{BF}=\frac{OK}{BK}.\)

Ugyanez a feladat szövegében szereplő jelölésekkel:

\(\displaystyle \frac{r}{a}=\frac{R-r}{R}.\)

Beszorzás és rendezés után

\(\displaystyle rR=aR-ar,\)

\(\displaystyle aR=rR+ar.\)

Elosztva az egyenlőség mindkét oldalát \(\displaystyle arR\)-rel éppen a bizonyítandó állítást kapjuk:

\(\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{R}+\frac{1}{a}.\)


Statistics on problem B. 4833.
122 students sent a solution.
3 points:118 students.
2 points:2 students.
1 point:1 student.
0 point:1 student.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley