A B. 4833. feladat (2016. december)

B. 4833. Az \(\displaystyle R\) sugarú kör félkörnél kisebb körcikkébe beírt kör sugara \(\displaystyle r\), a körcikket határoló körív végpontjait összekötő húr hossza \(\displaystyle 2a\). Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \frac 1r= \frac 1R+ \frac 1a. \)

(3 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a körív középpontja \(\displaystyle K\), az ív két végpontja \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), az ív felezőpontja \(\displaystyle F\), a beírt kör középpontja az \(\displaystyle O\) pont, s végül a beírt kör érintési pontja a \(\displaystyle BK\) sugáron az \(\displaystyle E\) pont.

A \(\displaystyle BFK\) és \(\displaystyle OEK\) derékszögű háromszögek hasonlók, mert egyik hegyesszögük egybeeesik. Írjuk fel a megfelelő oldalak arányának egyenlőségét:

\(\displaystyle \frac{OE}{BF}=\frac{OK}{BK}.\)

Ugyanez a feladat szövegében szereplő jelölésekkel:

\(\displaystyle \frac{r}{a}=\frac{R-r}{R}.\)

Beszorzás és rendezés után

\(\displaystyle rR=aR-ar,\)

\(\displaystyle aR=rR+ar.\)

Elosztva az egyenlőség mindkét oldalát \(\displaystyle arR\)-rel éppen a bizonyítandó állítást kapjuk:

\(\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{R}+\frac{1}{a}.\)

Statisztika:

122 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	118 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai