KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4834. (December 2016)

B. 4834. Let \(\displaystyle K\) denote the centre of the circumscribed circle of an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\). The line drawn through \(\displaystyle K\), parallel to \(\displaystyle AB\), intersects line \(\displaystyle BC\) at \(\displaystyle D\), and line \(\displaystyle CA\) at \(\displaystyle E\). Similarly, let the line drawn through \(\displaystyle K\), parallel to \(\displaystyle BC\) intersect line \(\displaystyle CA\) at \(\displaystyle F\), and line \(\displaystyle AB\) at \(\displaystyle G\). Prove that the circle of radius \(\displaystyle EA\) centred at \(\displaystyle E\), the circle of radius \(\displaystyle FC\) centred at \(\displaystyle F\), and the circumscribed circle of the triangle \(\displaystyle ABC\) are concurrent.

(Proposed by Sz. Miklós, Herceghalom)

(4 pont)

Deadline expired on 10 January 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük az ábra alapján az \(\displaystyle ABK\) egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögeit \(\displaystyle δ\)-val, a \(\displaystyle BCK\) egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögeit pedig \(\displaystyle ε\)-nal.

Mivel \(\displaystyle ED‖AB\), azért BAK∡=AKE∡=δ és ABK∡=BKD∡=δ, mert váltószögek.

Hasonlóan, mivel GF‖BC, azért CBK∡=BKG∡=ε és BCK∡=CKF∡=ε, mert váltószögek.

Legyen a K középpontú KA=R sugarú és az E középpontú EA=r sugarú körök metszéspontja M.

Ekkor az AKEΔ és az MKEΔ egybevágó, mert EK oldaluk közös, KA=KM=R és EA=EM=r. Ezért EKM∡=AKE∡=δ.

Mivel GKD∡=δ+ε=EKF∡, mert csúcsszögek, így MKF∡=EKF∡-δ=ε.

Az MKFΔ és a CKFΔ egybevágó, mert KF oldaluk közös, KM=KC=R és MKF∡=CKF∡=ε, így megegyeznek két oldalban és a közbezárt szögben.

Az egybevágóság miatt FM=FC, így M pont rajta van az F középpontú FC sugarú körön is, vagyis a három kör egy pontban metszi egymást.


Statistics:

73 students sent a solution.
4 points:65 students.
3 points:5 students.
2 points:2 students.
0 point:1 student.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley