Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?
I want the old design back!!! :-)

Problem B. 4834. (December 2016)

B. 4834. Let \(\displaystyle K\) denote the centre of the circumscribed circle of an acute-angled triangle \(\displaystyle ABC\). The line drawn through \(\displaystyle K\), parallel to \(\displaystyle AB\), intersects line \(\displaystyle BC\) at \(\displaystyle D\), and line \(\displaystyle CA\) at \(\displaystyle E\). Similarly, let the line drawn through \(\displaystyle K\), parallel to \(\displaystyle BC\) intersect line \(\displaystyle CA\) at \(\displaystyle F\), and line \(\displaystyle AB\) at \(\displaystyle G\). Prove that the circle of radius \(\displaystyle EA\) centred at \(\displaystyle E\), the circle of radius \(\displaystyle FC\) centred at \(\displaystyle F\), and the circumscribed circle of the triangle \(\displaystyle ABC\) are concurrent.

(Proposed by Sz. Miklós, Herceghalom)

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük az ábra alapján az \(\displaystyle ABK\) egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögeit \(\displaystyle δ\)-val, a \(\displaystyle BCK\) egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögeit pedig \(\displaystyle ε\)-nal.

Mivel \(\displaystyle ED‖AB\), azért BAK∡=AKE∡=δ és ABK∡=BKD∡=δ, mert váltószögek.

Hasonlóan, mivel GF‖BC, azért CBK∡=BKG∡=ε és BCK∡=CKF∡=ε, mert váltószögek.

Legyen a K középpontú KA=R sugarú és az E középpontú EA=r sugarú körök metszéspontja M.

Ekkor az AKEΔ és az MKEΔ egybevágó, mert EK oldaluk közös, KA=KM=R és EA=EM=r. Ezért EKM∡=AKE∡=δ.

Mivel GKD∡=δ+ε=EKF∡, mert csúcsszögek, így MKF∡=EKF∡-δ=ε.

Az MKFΔ és a CKFΔ egybevágó, mert KF oldaluk közös, KM=KC=R és MKF∡=CKF∡=ε, így megegyeznek két oldalban és a közbezárt szögben.

Az egybevágóság miatt FM=FC, így M pont rajta van az F középpontú FC sugarú körön is, vagyis a három kör egy pontban metszi egymást.


Statistics:

73 students sent a solution.
4 points:65 students.
3 points:5 students.
2 points:2 students.
0 point:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016