Problem B. 4835. (December 2016)
B. 4835. Solve the following simultaneous equations:
\(\displaystyle x+y+z =3,\)
\(\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} =7,\)
\(\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3} =15.\)
(Proposed by B. Kovács, Szatmárnémeti)
(4 pont)
Deadline expired on January 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Először számoljuk ki \(\displaystyle xy+yz+zx\) és \(\displaystyle xyz\) értékét:
\(\displaystyle xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=\frac{3^2-7}{2}=1,\)
illetve
\(\displaystyle xyz=\frac{(x^3+y^3+z^3)-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}{3}=\frac{15-3\cdot(7-1)}{3}=-1.\)
Így a Viète-formulák alapján, ha az \(\displaystyle x, y,z\) valós számokra mindhárom megadott egyenlet teljesül, akkor \(\displaystyle x,y,z\) a következő harmadfokú egyenlet gyökei:
\(\displaystyle (t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+yz+zx)t-xyz=t^3-3t^2+t+1=0.\)
Könnyű észrevenni, hogy \(\displaystyle t=1\) az egyik gyök. A \(\displaystyle (t-1)\) gyöktényezőt kiemelve:
\(\displaystyle t^3-3t^2+t+1=(t-1)(t^2-2t-1),\)
így a másik két gyök a másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint:
\(\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot (-1)}}{2}=1\pm \sqrt{2}.\)
Tehát, ha az \(\displaystyle x,y,z\) valós számokra teljesül a három megadott egyenlet, akkor azok valamilyen sorrendben \(\displaystyle 1,1+\sqrt2, 1-\sqrt2\). Ellenőrzéssel megállapíthatjuk, hogy az így kapott 6 (rendezett) számhármas valóban megoldás, hiszen:
\(\displaystyle 1+(1+\sqrt2)+(1-\sqrt2)=3,\)
\(\displaystyle 1^2+(1+\sqrt2)^2+(1-\sqrt2)^2=1+(3+2\sqrt2)+(3-2\sqrt2)=7,\)
\(\displaystyle 1^3+(1+\sqrt2)^3+(1-\sqrt2)^3=1+(7+5\sqrt2)+(7-5\sqrt2)=15.\)
Statistics:
137 students sent a solution. 4 points: 52 students. 3 points: 62 students. 2 points: 10 students. 1 point: 9 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016