KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4837. (December 2016)

B. 4837. Find all functions \(\displaystyle f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) satisfying \(\displaystyle (x+1)\cdot f(x+2)-2(x+2)\cdot f(-x-1)=3x^2+8x+3\).

(Proposed by G. Szöllősy, Máramarossziget)

(4 pont)

Deadline expired on 10 January 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle y\) tetszőleges valós szám, és írjuk fel a függvényegyenletet \(\displaystyle x=y-2\)-re és \(\displaystyle x=-y-1\)-re:

\(\displaystyle (y-1)f(y)-2yf(1-y)=3(y-2)^2+8(y-2)+3,\)

\(\displaystyle -yf(1-y)-2(1-y)f(y)=3(-y-1)^2+8(-y-1)+3.\)

Az első egyenletből a második egyenlet \(\displaystyle 2\)-szeresét kivonva az \(\displaystyle f(1-y)\)-t tartalmazó tagok kiejtik egymást:

\(\displaystyle -3(y-1)f(y)= 3(y-2)^2+8(y-2)+3-2(3(-y-1)^2+8(-y-1)+3).\)

A kapott egyenlet jobb oldalán bontsuk fel a zárójeleket, és a kapott kifejezést alakítsuk szorzattá:

\(\displaystyle 3(y-2)^2+8(y-2)+3-2(3(-y-1)^2+8(-y-1)+3)= -3y^2+3 =-3(y+1)(y-1).\)

Azt kaptuk tehát, hogy minden \(\displaystyle y\)-ra \(\displaystyle -3(y-1)f(y)=-3(y+1)(y-1)\). Ha \(\displaystyle y\ne 1\), akkor ebből következik, hogy \(\displaystyle f(y)=y+1\).

Az eredeti függvényegyenletben \(\displaystyle f(1)\) csak két esetben jelenik meg: ha \(\displaystyle x=-1\) vagy \(\displaystyle x=-2\).
Ha \(\displaystyle x=-1\), akkor az egyenlet:

\(\displaystyle 0\cdot f(1)-2f(0)=-2,\)

ami teljesül, ha \(\displaystyle f(0)=0+1=1\).
Ha \(\displaystyle x=-2\), akkor az egyenlet:

\(\displaystyle -f(0)-2\cdot 0\cdot f(1)=-1,\)

ami szintén teljesül, ha \(\displaystyle f(0)=0+1=1\). Azt kaptuk tehát, hogy \(\displaystyle f(1)\) értéke bármi lehet, már csak azt kell ellenőriznünk, hogy ha az \(\displaystyle f\) függvényre \(\displaystyle f(x)=x+1\) teljesül minden \(\displaystyle x\ne 1\) esetén, akkor kielégíti a függvényegyenletet bármely \(\displaystyle x\ne -1,-2\) esetén is. Behelyettesítve \(\displaystyle f(x)=x+1\)-et:

\(\displaystyle (x+1)(x+3)-2(x+2)(-x)=3x^2+8x+3,\)

ami valóban minden \(\displaystyle x\)-re teljesül.

Tehát a függvényegyenletnek végtelen sok megoldása van: azok a függvények, amelyekre \(\displaystyle f(x)=x+1\), ha \(\displaystyle x\ne 1\), \(\displaystyle f(1)\) értéke pedig bármi lehet.

Megjegyzés. Akinek a megoldásából csak \(\displaystyle f(1)\) értékének meghatározása hiányzott, mert nem ismerte fel, hogy ez az érték nincs meghatározva az egyenlet által, de egyébként helyes a megoldása, az 3 pontot kapott.


Statistics:

98 students sent a solution.
4 points:Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csuha Boglárka, Döbröntei Dávid Bence, Dömsödi Bálint, Fuisz Gábor, Garamvölgyi István Attila, Gáspár Attila, Hansel Soma, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kassai Levente, Klász Viktória, Kovács 246 Benedek, Matolcsi Dávid, Molnár-Sáska Zsófia Eszter, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Páli Petra, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Szécsényi Nándor, Szemerédi Levente, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Török Zsombor Áron, Velkey Vince, Weisz Máté, Zólomy Kristóf, Zsigri Bálint.
3 points:50 students.
2 points:7 students.
1 point:7 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley