KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4838. A centrally symmetrical convex polyhedron \(\displaystyle \mathcal{P}\) has the following property: any two vertices \(\displaystyle X\) and \(\displaystyle Y\) of \(\displaystyle \mathcal{P}\) are either centrally opposite or there exists a face of \(\displaystyle \mathcal{P}\) that contains both. Show that \(\displaystyle \mathcal{P}\) is either a parallelepiped, or the vertices of \(\displaystyle \mathcal{P}\) are the centres of the faces of a parallelepiped.

(6 points)

Deadline expired on 10 January 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Vezessük be a következő terminológiát: az \(\displaystyle X\) pont látja (megvilágítja) a \(\displaystyle \cal{P}\) poliéder \(\displaystyle F\) lapját/élét/csúcsát, ha \(\displaystyle F\) bármely \(\displaystyle Y\) pontjával összekötve \(\displaystyle X\)-t, az \(\displaystyle XY\) szakasz csak \(\displaystyle Y\)-ban metszi \(\displaystyle \cal{P}\)-t.

Először belátjuk, hogy \(\displaystyle \cal{P}\) minden lapja háromszög vagy paralelogramma. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle \cal{P}\) egyik lapján az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) különböző csúcsok pozitív körüljárás szerint ilyen sorrendben vannak. Legyen \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) centrálszimmetrikus csúcspárja \(\displaystyle \cal{P}\)-ben \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\).

Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\) pontok nincsenek egy síkban. Tekintsük a \(\displaystyle CDC'D'A\) gúlát. \(\displaystyle B\) rajta van az \(\displaystyle ACD\) síkon, a körüljárás miatt \(\displaystyle B\) látja az \(\displaystyle AC\) élt. Az \(\displaystyle AC\) élre illeszkedő lapok közül \(\displaystyle B\) nem látja \(\displaystyle ACD\)-t, ezért látja az \(\displaystyle AD'C\) lapot, így viszont a \(\displaystyle D'A\) élet is. Ha \(\displaystyle B\) látja a \(\displaystyle C'D'A\) lapot, akkor \(\displaystyle AD'\) az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\) által meghatározott poliéder belsejében, és így egyúttal \(\displaystyle \cal{P}\) belsejében halad, ami ellentmond a feltevésnek. Ha \(\displaystyle B\) nem látja a \(\displaystyle C'D'A\) lapot, és nincs rajta a \(\displaystyle C'D'A\) síkon sem, akkor a \(\displaystyle BC'\) szakasz halad az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\) által meghatározott poliéder belsejében. Ez sem lehet, így szükségképpen a \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D'\), \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok egy síkra illeszkednek.

Mivel \(\displaystyle CDD'C'\) paralelogramma, így \(\displaystyle AB\parallel CD\) következik. A gondolatmenetet ismételten alkalmazva adódik, hogy \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma. Ebből az is következik, hogy \(\displaystyle \cal{P}\) minden lapja háromszög vagy paralelogramma.

Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle \cal{P}\) egy lapja, \(\displaystyle A'B'C'D'\) a tükörképe. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle \cal{P}\) egy további csúcsa. Az \(\displaystyle X\) pont látja az \(\displaystyle ABCDA'B'C'D'\) paralelepipedon valamelyik lapját, mondjuk \(\displaystyle ABCD\)-t. Ez viszont azt jelenti, hogy az \(\displaystyle AC\) szakasz \(\displaystyle \cal{P}\) belsejében halad, ami ellentmond a feltevésnek. Így ha van \(\displaystyle \cal{P}\)-nek paralelogramma lapja, akkor \(\displaystyle \cal{P}\) egy paralelepipedon.

Feltehetjük a továbbiakban, hogy \(\displaystyle \cal{P}\) minden lapja háromszög. Ekkor a közös lapra illeszkedő csúcsok szükségképpen éllel vannak összekötve. Ha \(\displaystyle \cal{P}\) csúcsainak száma \(\displaystyle c\), akkor a feltevés miatt az élek száma \(\displaystyle e=c(c-2)/2\). Ebből az Euler-formulát felhasználva kapjuk, hogy a lapok száma \(\displaystyle \ell=e-c+2=c^2/2-2c+2\). Mivel minden lap háromszög, így \(\displaystyle 2e=3\ell\). Ebből \(\displaystyle c\)-re másodfokú egyenlet adódik, aminek gyökei \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 6\). Utóbbi ad valódi geometriai tartalmú megoldást.


Statistics on problem B. 4838.
20 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Szabó Kristóf, Weisz Máté.
5 points:Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Hansel Soma, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Zólomy Kristóf.
4 points:2 students.
2 points:3 students.
0 point:3 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, December 2016

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley