A B. 4838. feladat (2016. december)

B. 4838. A \(\displaystyle \mathcal{P}\) középpontosan szimmetrikus, konvex poliéderre teljesül a következő: \(\displaystyle \mathcal{P}\) bármely két \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) csúcsa vagy átellenes, vagy található hozzájuk egy olyan lapja \(\displaystyle \mathcal{P}\)-nek, ami mindkettőt tartalmazza. Mutassuk meg, hogy ekkor \(\displaystyle \mathcal{P}\) vagy paralelepipedon, vagy \(\displaystyle \mathcal{P}\) csúcsai éppen egy paralelepipedon lapközéppontjai.

(6 pont)

A beküldési határidő 2017. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Vezessük be a következő terminológiát: az \(\displaystyle X\) pont látja (megvilágítja) a \(\displaystyle \cal{P}\) poliéder \(\displaystyle F\) lapját/élét/csúcsát, ha \(\displaystyle F\) bármely \(\displaystyle Y\) pontjával összekötve \(\displaystyle X\)-t, az \(\displaystyle XY\) szakasz csak \(\displaystyle Y\)-ban metszi \(\displaystyle \cal{P}\)-t.

Először belátjuk, hogy \(\displaystyle \cal{P}\) minden lapja háromszög vagy paralelogramma. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle \cal{P}\) egyik lapján az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) különböző csúcsok pozitív körüljárás szerint ilyen sorrendben vannak. Legyen \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) centrálszimmetrikus csúcspárja \(\displaystyle \cal{P}\)-ben \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\).

Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\) pontok nincsenek egy síkban. Tekintsük a \(\displaystyle CDC'D'A\) gúlát. \(\displaystyle B\) rajta van az \(\displaystyle ACD\) síkon, a körüljárás miatt \(\displaystyle B\) látja az \(\displaystyle AC\) élt. Az \(\displaystyle AC\) élre illeszkedő lapok közül \(\displaystyle B\) nem látja \(\displaystyle ACD\)-t, ezért látja az \(\displaystyle AD'C\) lapot, így viszont a \(\displaystyle D'A\) élet is. Ha \(\displaystyle B\) látja a \(\displaystyle C'D'A\) lapot, akkor \(\displaystyle AD'\) az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\) által meghatározott poliéder belsejében, és így egyúttal \(\displaystyle \cal{P}\) belsejében halad, ami ellentmond a feltevésnek. Ha \(\displaystyle B\) nem látja a \(\displaystyle C'D'A\) lapot, és nincs rajta a \(\displaystyle C'D'A\) síkon sem, akkor a \(\displaystyle BC'\) szakasz halad az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle C'\) és \(\displaystyle D'\) által meghatározott poliéder belsejében. Ez sem lehet, így szükségképpen a \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D'\), \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok egy síkra illeszkednek.

Mivel \(\displaystyle CDD'C'\) paralelogramma, így \(\displaystyle AB\parallel CD\) következik. A gondolatmenetet ismételten alkalmazva adódik, hogy \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma. Ebből az is következik, hogy \(\displaystyle \cal{P}\) minden lapja háromszög vagy paralelogramma.

Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle ABCD\) paralelogramma \(\displaystyle \cal{P}\) egy lapja, \(\displaystyle A'B'C'D'\) a tükörképe. Tegyük fel, hogy \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle \cal{P}\) egy további csúcsa. Az \(\displaystyle X\) pont látja az \(\displaystyle ABCDA'B'C'D'\) paralelepipedon valamelyik lapját, mondjuk \(\displaystyle ABCD\)-t. Ez viszont azt jelenti, hogy az \(\displaystyle AC\) szakasz \(\displaystyle \cal{P}\) belsejében halad, ami ellentmond a feltevésnek. Így ha van \(\displaystyle \cal{P}\)-nek paralelogramma lapja, akkor \(\displaystyle \cal{P}\) egy paralelepipedon.

Feltehetjük a továbbiakban, hogy \(\displaystyle \cal{P}\) minden lapja háromszög. Ekkor a közös lapra illeszkedő csúcsok szükségképpen éllel vannak összekötve. Ha \(\displaystyle \cal{P}\) csúcsainak száma \(\displaystyle c\), akkor a feltevés miatt az élek száma \(\displaystyle e=c(c-2)/2\). Ebből az Euler-formulát felhasználva kapjuk, hogy a lapok száma \(\displaystyle \ell=e-c+2=c^2/2-2c+2\). Mivel minden lap háromszög, így \(\displaystyle 2e=3\ell\). Ebből \(\displaystyle c\)-re másodfokú egyenlet adódik, aminek gyökei \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 6\). Utóbbi ad valódi geometriai tartalmú megoldást.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Kerekes Anna, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Szabó Kristóf, Weisz Máté.
5 pontot kapott:	Csahók Tímea, Döbröntei Dávid Bence, Hansel Soma, Nagy Dávid Paszkál, Németh 123 Balázs, Zólomy Kristóf.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2016. decemberi matematika feladatai