KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Sign In
Sign Up
 Magyar
Information
Contest
Journal
Articles

 

Problem B. 4840. (January 2017)

B. 4840. Show that every integer can be represented in the form \(\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}\) with appropriate positive integers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\).

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n\) tetszőleges egész szám. Keressünk egy olyan \(\displaystyle n=x^2+y^2-z^2\) előállítást, ahol \(\displaystyle z=y+1\). Ekkor \(\displaystyle n=x^2+y^2-(y+1)^2=x^2-(2y+1)\) alapján az \(\displaystyle n+(2y+1)\) számnak négyzetszámnak kell lennie. Mivel \(\displaystyle y\)-nak pozitív egésznek kell lennie, ezért olyan négyzetszámot keresünk, ami legalább 3-mal nagyobb, mint \(\displaystyle n\), és a paritása különbözik \(\displaystyle n\)-étől. Az \(\displaystyle (n^2+3)^2\) például ilyen. Legyen tehát \(\displaystyle x=n^2+3\), ami valóban pozitív egész, és ekkor \(\displaystyle y\)-ra

\(\displaystyle y=\frac{x^2-n-1}{2}=\frac{n^4+6n^2-n+8}{2}=3n^2+4+\frac{n^4-n}{2}\)

adódik, ami szintén pozitív egész, és így \(\displaystyle z=y+1\) is az. Ezzel a választással \(\displaystyle x^2+y^2-z^2=(n^2+3)^2-(n^4+6n^2-n+8+1)=n\), tehát egy megfelelő előállítást kaptunk.


Statistics:

120 students sent a solution.
3 points:68 students.
2 points:12 students.
1 point:30 students.
0 point:10 students.

Our web pages are supported by:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley