KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

B. 4840. Show that every integer can be represented in the form \(\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}\) with appropriate positive integers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\).

(3 points)

Deadline expired on 10 February 2017.


Google Translation (Sorry, the solution is published in Hungarian only.)

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n\) tetszőleges egész szám. Keressünk egy olyan \(\displaystyle n=x^2+y^2-z^2\) előállítást, ahol \(\displaystyle z=y+1\). Ekkor \(\displaystyle n=x^2+y^2-(y+1)^2=x^2-(2y+1)\) alapján az \(\displaystyle n+(2y+1)\) számnak négyzetszámnak kell lennie. Mivel \(\displaystyle y\)-nak pozitív egésznek kell lennie, ezért olyan négyzetszámot keresünk, ami legalább 3-mal nagyobb, mint \(\displaystyle n\), és a paritása különbözik \(\displaystyle n\)-étől. Az \(\displaystyle (n^2+3)^2\) például ilyen. Legyen tehát \(\displaystyle x=n^2+3\), ami valóban pozitív egész, és ekkor \(\displaystyle y\)-ra

\(\displaystyle y=\frac{x^2-n-1}{2}=\frac{n^4+6n^2-n+8}{2}=3n^2+4+\frac{n^4-n}{2}\)

adódik, ami szintén pozitív egész, és így \(\displaystyle z=y+1\) is az. Ezzel a választással \(\displaystyle x^2+y^2-z^2=(n^2+3)^2-(n^4+6n^2-n+8+1)=n\), tehát egy megfelelő előállítást kaptunk.


Statistics on problem B. 4840.
120 students sent a solution.
3 points:68 students.
2 points:12 students.
1 point:30 students.
0 point:10 students.


  • Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017

  • Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
    MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley